306 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



ist, worin R in y x , y 2 , . . . und deren Ableitungen rational ist, und die 

 durch diese Substitution transformirte Gleichung 



(17) 2 R 3 R"" — 1 4R 2 R' R'" — 1 3R 2 R" 2 + 64RR' 2 R" 



— 40R '" -+- er R 6 — 4p R< = o 



ein Integral von der eben bezeichneten Art haben muss. 



Die binomische Differentialgleichung (S) wird somit dann und 

 nur dann kein Integral mit einer gleichartigen linearen Differential- 

 gleichung 2 tcr Ordnung gemein haben, welches nicht schon einer solchen 

 erster Ordnung genügt, wenn weder die Differentialgleichung 



(iS) 2z" -+■ 6z z" -\- jz' 2 -hSz 2 z'-+-z' 1 = — 4p, 



noch die Differentialgleichung 



(19) 2z 3 z"" — \\z 2 z z'" — i3z*z" 2 -\-6ä t zz' 2 z" — 40c' 4 -f-<f.s 6 — ^.pz 4 = o 



für irgend ein c ein in den bezeichneten Grössen rationales Integral 

 besitzt. 



Hat endlich 



III. die binomische Differentialgleichung (8) mit der gleichartigen 

 linearen Differentialgleichung erster Ordnung 



(20) V = r t vi 



ein nicht in jenen Grössen rationales Integral gemein, so folgt ähnlich 

 wie oben 



r \ -+- ö r 'i -+- £> r \ K + 4 r i r 'i -+- r 'i = P > 



und es ist somit die nothwendige und hinreichende Bedingung da- 

 für, dass v h nicht das Integral einer gleichartigen Differentialgleichung 

 i ter Ordnung sein kann, die, dass die Differentialgleichung 



(21) z'" -h ^zz" -{- 3z' 2 -h 6z* z' + z* = p 



kein in den bezeichneten Grössen rationales Integral besitzt, eine Be- 

 dingung, welche mit der für den Fall I gefundenen zusammenfällt. 

 Wir finden somit, dass die nothwendigen und hinreichenden 

 Bedingungen dafür, dass die binomische Differentialgleichung 



worin p eine in den willkürlichen Functionen y, , y, , . . und deren Ab- 

 leitungen rationale Function bedeutet, in dem Sinne irreductibel ist, 

 dass sie weder ein in diesen Grössen gleichartiges rationales Inte- 

 gral besitzt, noch ein Integral gemein hat mit einer gleichartigen 

 linearen Differentialgleichung niederer Ordnung, dadurch gegeben sind, 

 dass die Differentialgleichungen 



