KniMi.M.i ki.i n : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomisch 



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Es ist ferner leicht zu sehen, dass, wenn »i, , n a , . . . »i« Fundamen- 

 talintegrale der binomischen Differentialgleichung (23) waren, auch 

 //, . 7/ 2 , . . . //„ Fundamentalintegrale der Differentialgleichung (30) sein 

 werden 1 . 



Wir gehen nunmehr zur Beantwortung der Frage nach der ( >rdnung 

 derjenigen homogenen linearen Differentialgleichungen mit allgemeinen 

 Coefficienten über, welche die Eigenschaft haben, dass ein Integral der- 

 selben den Charakter einer binomischen Lntegralfunction besitzt, oder, 

 wie aus dem oben angeführten Satze über symmetrische Functionen von 

 Fundamentalintegralen einer linearen homogenen Differentialgleichung 

 ersichtlich ist, zur Untersuchung, wann für m willkürlich angenommene 

 Functionen ?/, , y z , . . y m von x, zwischen denen keine homogene lineare 

 Beziehung mit constanten Coefficienten besteht, also die Determinante 



>//"-> y'r i) 



y), 



1 Es genügt der Kürze halber z. B. für eine binomische Differentialgleichung 

 V"' Ordnung 



l'"=/(*)l 

 zu zeigen, dass. wenn *j r , vj 3 . y 3 Fundamentalintegrale dieser Gleichung sind, auch 



Hi = ial 3 — '"3 r 2 • H- = "■ Y \ — y 3 r '< ■ H3 = li •»> — lali 

 Fundamentalintegrale der binomischen Differentialgleichung 



H>" =-/(x)H 



darstellen. Bestände nämlich zwischen diesen die homogene lineare Relation mit con- 

 stanten Coefficienten 



oder 



ai(la1 3 — »kl'») + Oa(li1 3 — I3V1) + 03(11 1j — lali) = O 



li (— «2I3 — O3I2) + 1a (— O1I3 "+" O3I1) + 13(81 1a + OjIi) = O , 



SO folgt durch Differentiation 



■''l{- a 2 l 3 - O3I2) + l"(— a, i 3 + a^,) + ^'(a, r iz + a,t),) = o , 

 und aus diesen beiden letzten Beziehungen verbunden mit der Identität 



li (— <*2l 3 — n. 3 r 2 ) + r 2 (- a, tj 3 -+- a 3 »),) -+- >j 3 (a, i 2 + a,*j,) = o , 

 da die Determinante 



li 1a 1 3 . 

 li 1a 13 

 li' li' 13 

 von Null verschieden ist, 



— 0»l3 — o 3 t? 2 = o , — Oii 3 + o 3 »ii = o , a, /, -+- 17, /, = o . 



was zufolge der Annahme, dass <i • 1a , I3 Fundamentalintegrale der gegebenen bino- 

 mischen Differentialgleichung sind, ausgeschlossen ist. 



