BIO Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



von Null verschieden ist, eine dieser Grössen y, sich mit Hülfe rationaler 

 symmetrischer Functionen von y z , y 2 , . . . und deren Ableitungen in 

 Form einer binomischen Integralfunction ?*'" Ordnung und p te " Grades 

 darstellen lässt, und somit die Form hat 



(30 y . = 2° *i. -+- ?. i,' -+- • • + (j„-, il" - " , 



worin *j, ein Integral derjenigen binomischen Differentialgleichung 



(32) >!<">= 0.» 



ist, welche unter allen p binomischen Gleichungen, die in Frage kom- 

 men, und in welchen der Ooefficient </> rational zusammengesetzt ist aus 

 binomischen Integralfunctionen r — i ter Ordnung, die höchste Ordnung 

 n besitzt, und welche somit nach der Bildungsweise binomischer Inte- 

 gralfunctionen mit keiner gleichartigen homogenen linearen Differential- 

 gleichung niederer Ordnung mit Adjungirung rationaler Verbindungen 

 der Integrale und deren Ableitungen aller anderen in Frage kommenden 

 binomischen Differentialgleichungen das Integral •f [l gemein hat; y, ist 

 mehrfach linear aus den bezüglichen Lösungen aller jener binomischen 

 Differentialgleichungen und deren Ableitungen zusammengesetzt mit 

 Coefficienten, welche rational von den symmetrischen Verbindungen 

 s, , 5 2 , . . . der Functionen y, , y 2 , . . . und deren Ableitungen abhängen. 

 Legen wir zunächst eine lineare homogene Differentialgleichung 

 2 ,er Ordnung 



(33) y " +/. (*) y ' +/. ( x )y = o 



mit allgemeinen, von x abhängigen Coefficienten zu Grunde und werfen 

 die Frage auf, ob sich allgemein ein Integral y l derselben als binomische 

 Integralfunction darstellen lässt. 



Wendet man auf (33) die Substitution an 



(34) y = v).S-, 

 so geht dieselbe in 



V -+- ( 2 &' +/, $) -/]' -+- (&" -+-/, y +/ 2 9) y\ = O 



über und kann somit in die beiden Differentialgleichungen zerlegt 

 werden 



(35) 2Sv'+/ i & = o 

 und 



(36) •v , +(-i/':-+/:+./;)vi = o. 



Es wird somit, da die Coefficienten dieser Differentialgleichungen 

 rationale symmetrische Functionen eines Fundamentalsystems y,, y 2 

 von Integralen und deren Ableitungen der Differentialgleichung (t,-,) 



