Koenigsberger : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. Hl 1 



sind, nach (34) eine Lösung y, derselben eine binomische Integral- 

 funetion i ter Ordnung und 2*"' Grades sein, wenn die Irreductibilität 

 der Gleichung (35) mit Adjungirung rationaler symmetrischer Func- 

 tionen von //,,//, und die der Differentialgleichung (36) mit Adjun- 

 girung ebensolcher Functionen und des Integrales 9-, der Differential- 

 gleichung (35) festgestellt sein wird, und zwar wird dann y, die Form 

 haben 



(37) y« = iA. 



also y, bilinear von den beiden Lösungen S-, und r,, der Differential- 

 gleichungen (35) und (36) abhängen. Da aber/, (j:) und /(.c). also 

 auch y, und y, willkürliche Functionen von x sind, so ist zunächst 

 klar, dass die binomische Differentialgleichung (35) irreductibel ist 

 mit Adjungirung rationaler symmetrischer Functionen von y,,y 2 und 

 deren Ableitungen, und zwar ist deren Integral 



3\ = Ci 



,-*//,* 





eine binomische Integralfunction erster Ordnung. Ferner ist aber auch 

 die Differentialgleichung (36) mit Adjungirung symmetrischer Func- 

 tionen von y t ,y 2 , deren Ableitungen und des Integrales 3-, der Diffe- 

 rentialgleichung (35) in dem oben angegebenen Sinne irreductibel. 

 Denn wäre vj, ein Integral der linearen homogenen Differentialgleichung 

 i ter Ordnung 



vi'= »•(«,,«,, . . . S-,)vj , 



worin r eine rationale Function der eingeschlossenen Grössen bedeutet, 

 so würde die Reductibilität wegen der Willkürlichkeit der Functionen/, 

 und/, auch stattfinden, wenn / = o gesetzt wird, wofür (36) mit (t,^) 

 zusammenfällt; da aber in diesem Falle 3, in eine Constante über- 

 geht, die Differentialgleichung 



y"+f*y = ° 



aber für eine beliebige Function / mit Adjungirung dieser und deren 

 Ableitungen irreductibel ist, so wird die Differentialgleichung (36) für 

 beliebige Functionen / , / in dem angegebenen Sinne ebenfalls irre- 

 ductibel sein. 



Die Integrale der allgemeinen linearen homogenen Differential- 

 gleichung 2 ,cr Ordnung haben somit den Charakter binomischer Integral- 

 functionen i kr Ordnung und 2 t0 " Grades und sind bilinear in den 

 Integralen einer homogenen linearen binomischen Differentialgleichung 

 i ter und 2 1 " Ordnung, deren Coefficienten rational symmetrisch aus 

 zwei Fundamentalintegralen jener Gleichung und deren Ableitungen 

 Sitzungsberichte 1909. 27 



