312 Sitzung der |>hysikalisch»mathematischen Ciasse vom 18. Februar 1909. 



zusammengesetzt und welche in der oben angegebenen Weise irreduc- 

 tibel sind. 



Seien nun m willkürliche Functionen von x gegeben, zwischen 

 denen keine homogene lineare Relation mit constanten Coefficienten 

 existirt, so bilde man mit Hülfe der Gleichungen (3) und (4) die 

 Functionen /', (x) , . . . f„, (.( ) und mit diesen die lineare Differentialglei- 

 chung >/>*" Ordnung 



(38) y (m) +fA*)f"-" + ■ • • -*-f m {?)y = o , 



von welcher die willkürlich gegebenen Functionen y, , y y m von x 



ein System von Fundamentalintegralen darstellen. 



Soll nun y t den durch (31) dargestellten Charakter einer bino- 

 mischen Integralfunction haben, so wird die Substitution dieses Aus- 

 druckes in (38) eine Gleichung von der Form 



(39) F v\, -4- F, vj.'-t- . . . -+- F n _ 1 v^~ l) = o 



liefern, in welcher F , . . F„_, Functionen darstellen, welche mit in 

 y, , y % , . . . und deren Ableitungen symmetrischen Coefficienten aus allen 

 Lösungen und deren Ableitungen von den in Frage kommenden bi- 

 nomischen Differentialgleichungen mit Ausnahme der Lösung v\ t der 

 Differentialgleichung (32) rational zusammengesetzt sind. 



Da aber die binomische Differentialgleichung (32) mit Adjungirung 

 all" dieser eben bezeichneten Grössen im angegebenen Sinne irreductibel 

 sein sollte, so folgt aus der gleichartigen homogenen linearen Diffe- 

 rentialgleichung (39), welche in *), nur von der n — i ten Ordnung ist, dass 



(40) F x == o , . . . F n _, = o 



ist, oder dass, wenn in der rechten Seite von (31) statt »j, ein anderes 

 Integral der binomischen Differentialgleichung (32) gesetzt wird, die 

 aus (31) sich ergebenden ?/-Werthe wiederum Integrale der linearen 

 Differentialgleichung (38) sein werden 1 . 



Bilden also >), , v\ t , . . . Y[„ ein Fundamentalsystem von Integralen 

 der binomischen Differentialgleichung (32), so werden sich vermöge 

 der durch (31) für y t vorausgesetzten Form für n Integrale der linearen 

 Differentialgleichung (38) die Werthe ergeben 



1 Für die spätere Annahme, dass die binomischen Differentialgleichungen in dem 

 Sinne irreductibel sein sollen, dass sie mit keiner algebraischen Differentialgleichung 

 niederer Ordnung, also auch mit keiner linearen, nicht homogenen Differentialglei- 

 chung niederer Ordnung das Integral r, gemein haben sollen, wird man leicht finden, 

 dass die Annahme der binomischen Integralfunction in der Form 



y, = F+ F rj, -+- F, y,\ -h ... + F„_, >, ( ,' ! - ,, 



nothwendig auf F=o führt. 



