Koj nigsberger: Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische 



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y. = 7oi, 



1 y. = </o> 

 1 y, = </<>> 



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worin </,, , q, , . . . e/„_, binomische Integralfunctionen r tir Ordnung und 

 p — i ten Grades sind, die vielfach linear aus den Lösungen der in Frage 

 kommenden binomischen Gleichungen und deren Ableitungen mittels 

 symmetrischer Functionen s, , s, , . . . von y, ,y 2 ,... und deren Ab- 

 leitungen zusammengesetzt sind 1 . 



Aus dem Gleichungssystem (41) folgt 



(42) q.= 



oder da die zur binomischen Differentialgleichung (32) gehörige Nenner- 

 determinante eine von Null verschiedene Constante ist, nach (26) 



(43) q. = (-i)*y,^ ) +(-i)' +I y^ ,) + - ■ ■ + (-i) w -"-'y,BP 



und vermöge (28) 



(44) q, = (-i)V I ^ I (B - I -' ) + (-ir i y a ^ 2 (n - 1 -" 



+ • • .+(-1 r -'</„ #<"—<> 



1 Dass die Ordnung n der binomischen Differentialgleichung höchsten Ranges 

 und höchster Ordnung (32) stets kleiner, höchstens gleich sein wird der Ordnung m 

 der vorgelegten Differentialgleichung (38), ist daraus ersichtlich, dass, wenn rt = m-{-i 

 wäre, zwischen den m + 1 Integralen y t , y 2 , . . ■ ffm + i dieser Differentialgleichung eine 

 Beziehung bestände 



c, y, -+- c 2 y 2 -+- . . . + c m+ , y m + , =0, 



in welcher e„ c 2 , . . . c m + i Constanten bedeuten, und daraus vermöge der m+i Glei- 

 chungen (41), wenn 



c, 15 1 + C a y, 2 -h ■ ■ ■ -h c m + , r,„ + , = // 



gesetzt wird, die Relation folgen würde 



(«) 50 Ä -+- g>, ff' + . . . -I- q n - ■ B("- = o, 



worin H ein Integral der binomischen Differentialgleichung 



r,( n ) = <£*) 



ist. Wäre nun H = o, so könnten r,, v„ ... / m + I nicht, wie vorausgesetzt worden, 

 Elemente eines Fundamentalsystems sein, und ist H von Null verschieden, so wider- 

 spräche die Existenz der Beziehung (et) der Annahme der Irreductibilität der Differen- 

 tialgleichung (32). 



Es mag noch bemerkt werden, dass aus (31) durch Differentiation und Benutzung 

 von (32) sich yj jedenfalls als die Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung 

 ergiebt, deren Coefficienten rational aus binomischen Integralfunctionen r ter Ordnung 

 und 3 — i ten Grades zusammengesetzt sind. 



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