Koknigsbergei . Rednction linearer Differentialgleichungen auf binomische. 3 1 5 



(49) ausgedrückten Beziehungen der ( loefficienten 7 in der angenommenen 



Form (3 1 1 um! der V lamentalintegrale // der Differentialgleichung (45) 



zu den Integralen //, . //, .... der linearen Differentialgleichung (38) ent- 

 sprechen dem ersten Theile des \.BEL'schen Satzes von der rationalen 

 Ausdrückbarkcit eines jeden aus dem algebraischen Ausdrucke 



x 1 = q -\rp * ■+■ q t p n -+- . . . -t- 7,, _, p " 

 l'ür die Lösungen einer algebraischen Gleichung herausgegriffenen Theiles 



?o , p " , q ?„_, 



durch die Lösungen der algebraischen Gleichung selbst. 



Während zur Herleitung dieses Satzes nur die Irreductibilität der 

 binomischen linearen Differentialgleichungen in dem Sinne vorauszu- 

 setzen war, dass sie die bezüglichen Integrale nicht mit einer gleich- 

 artigen homogenen linearen Differentialgleichung niederer Ordnung 

 gemein haben sollten, legen wir nunmehr die Voraussetzung der Ir- 

 reductibilität dieser Gleichungen in dem oben angedeuteten allgemein- 

 sten Sinne zu Grunde, die bezüglichen Integrale nicht mit gleichartigen 

 algebraischen Differentialgleichungen niederer Ordnung gemein zu 

 haben. 



Sei S-, ein Integral der binomischen linearen Differentialgleichung 



(50) $^ = -i:-, 



worin \I sowie <p in Gleichung (32) rational zusammengesetzt ist aus bi- 

 nomischen Integralfunctionen r — i ter oder niedrigerer Ordnung, so wer- 

 den die Coefficienten q, in dem Ausdrucke (31) für y, in die Form 

 gesetzt werden können 



(50 q, = 4A + ttzS-z ■+■ • • • ■+■ *«-, § { r l) > 



worin die / binomische Integralfunctionen ? -ter Ordnung und p — 2 Uo 

 Grades oder niedrigerer Ordnung sind und somit der Ausdruck (31) 

 übergehen in 



(52) y t = (4 S-, + t x -*■ • • + 4,-^'r") *!, 



-+- {t„$, + t,x + . . h- ^.s-i^K + . . -t- &_»A -+-•• + t H _ s „_ 1 &r ,, )^" _ " • 



Bringt man nun y, in die Form 



(53) y, = (/'„„vi, -ht !B y' I -+- .. -+-t n _ Io y!: , -")B- l -h(t 01 Y II + ..-+- /„_,, ■/,"-");-' 



-1- . . . + (/,._,/, + . . -W„_, .,_,/; - ; v; "' . 



so wird dieser Ausdruck, in die lineare Differentialgleichung (38) ein- 

 gesetzt, eine algebraische Differentialgleichung v — i ter Ordnung in 9-, 

 liefern. Da aber die binomische Differentialgleichung (50) als irre- 



