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Koenigsherger: Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. Ol i 



oder, wenn 



(59) U^ ■+- ',>.>!,'+•■ • + ',«— x'li""" = P,y. (\ = 0,l,2,..v-l) 



gesetzt wird, 



\ « = « S- -+- » £>' -+- . . -+- p 2 ,_,^" _,) 

 ( 6 °) . . . . 



' y 2 „ = p 20 §„ -hp !t §' -+- . . + i » 2 „_ I S-{," _,) , 



und daher wieder wie oben 



(61) Pn = (-i)'-.y„0 , , , - , - M + (-i) + 'y 22 , ;- , -" + .. + (-i) >+ "-^,,0!"- , ^ ) , 



und ebenso p z> , . . p u> . Die Gleichungen (57) , (61), .. liefern somit 

 vermöge (55) , (59) .... die Beziehungen 



, ^i, + ^*ix'-»-.-. + ^-.xi ( x"- I) = (-i) > y II ©['- I_M -i-(-i) ,+I y.a0i"~ I " x) + -- 



' c>i«+^^-i----+4_ I ,>ii""" = (— iry,,,®'; - '"'^«— i)' +, ^ 2 ( ; _,_x) +-- 



aus denen sich wieder L , t lh , ■ ■ ■ t n _, x als trilineare Functionen der 

 Lösungen der vorgelegten homogenen linearen Differentialgleichung (38) 

 und der Systeme von Fundamentalintegralen und deren Ableitungen 

 der binomischen Differentialgleichungen (45) und (58) ergeben. 



Schliesst man genau so weiter, so ergiebt sich als Analogon zu 

 dem AßEi/schen Theorem, dass, wenn eine algebraische Gleichung 

 algebraisch auflösbar ist, sich jeder Theil der in die bekannte Form 

 gebrachten algebraischen Auflösung rational durch die Lösungen der 

 algebraischen Gleichung ausdrücken lässt, der folgende Satz: 



Wenn eine lineare homogene Differentialgleichung die Eigenschaft 

 hat, dass sich ein Integral derselben als binomische Integralfunction 

 irgend einer Ordnung und irgend eines Grades darstellen lässt, worin 

 jede für den Ausdruck in Betracht kommende binomische Differential- 

 gleichung irreductibel ist in dem oben angegebenen Sinne mit Ad- 

 jungirung der bezüglichen Integrale all der anderen binomischen 

 Differentialgleichungen, so wird sich jeder Theil der binomischen 

 Integralfunction als eine mehrfach lineare Function von Integralen 

 der vorgelegten Differentialgleichung und von Integralen und deren 

 Ableitungen von binomischen Differentialgleichungen ausdrücken lassen, 

 welche entweder die gegebenen binomischen Differentialgleichungen 

 selbst sind oder sich nur im Zeichen der rechten Seite von diesen 

 unterscheiden, je nachdem die Ordnung derselben eine gerade oder 

 ungerade Zahl ist. 



