318 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



Nachdem wir nun die Analogie mit dem AßEi/schen Satze in 

 seiner Allgemeinheit für die homogenen linearen Differentialgleichungen 

 durchgeführt haben, mag noch ausdrücklich hervorgehoben werden, 

 dass die für die Herleitung des ersten Theiles dieses AßEi/schen 

 Satzes oder der für die Werthe von q a ,q r ,..q n _ l in dem Ausdrucke 



(63) y, — 9o1, + qX ■+■ • • + ?, l _,'1 ( I "~' ) 



entwickelten Beziehungen vorausgesetzte Irreductibilität der binomi- 

 schen Differentialgleichungen nicht, wie in dem eben dargelegten all- 

 gemeinen Theorem, in dem Sinne definirt zu werden brauchte, mit 

 keiner gleichartigen algebraischen Differentialgleichung niederer 

 Ordnung das betreffende Integral gemein zu haben, sondern dass sie 

 nur mit keiner solchen linearen homogenen Differentialgleichung 

 jenes Integral gemein haben durfte — worauf schon oben bei Ge- 

 legenheit der Aufstellung der Irreductibilitätsbedingungen binomischer 

 Differentialgleichungen für eine solche 4*" Ordnung hingewiesen wurde. 

 Machen wir zunächst von dem oben gewonnenen, dem ersten 

 Theile des AßEi/schen Satzes analogen Resultate eine Anwendung zur 

 Bestimmung der Ordnung derjenigen linearen Differentialgleichungen 

 mit allgemeinen Functionalcoefficienten, die eine binomische Integral- 

 function erster Ordnung und ersten Grades besitzen, welche also durch 

 (63) dargestellt ist, worin q a , q, , </„_, rationale symmetrische Functionen 

 von y 1 , y a , . . . und deren Allleitungen sind, während r u die Lösung 

 der binomischen Differentialgleichung 



(64) vfd = S*] 



ist, in welcher s eine ebensolche symmetrische Function bedeutet, und 

 welche mit Adjungirung ähnlicher Functionen im angegebenen Sinne 

 irreductibel ist. 



Sei zunächst die binomische Differentialgleichung (64) von der 

 2 teD Ordnung 



(65) jT=s*], 

 somit nach (48), (49) 



H, 



y* 

 q y[ 



y. y* 

 y« y= 



h„ = — 



y. 



q° y> 



zwei Fundamentalintegrale derselben, und setzt man 



H,= r(y s ,y 2 ,y[,y' 2 ), 



worin r eine rationale Function bedeutet, so wird sich durch Ver- 

 tauschung von y s mit y 2 



H„ = —r{y x ,y I ,yi,y' t ) 



