(66) 



= C 



Koenigsberger: Kcduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. 31!) 

 ergeben, und daher 



rfy,, ?,,?.',&) >• (y, , y, , y[ , y' 2 ) 



■ r(y 3 , y, ■ y' % . y' s ) — r'{y 2 . y, , y[ , y[) 



.sein, worin C eine von Null verschiedene Constante bedeutet. Sind 

 aber y, und y 2 willkürliche, von einander unabhängige Functionen, 

 oder besitzt die gegebene lineare Differentialgleichung (38) allgemeine 

 Functionscoefficienten, .so rnuss die Gleichung (66) in y, , y 2 und deren 

 Ableitungen identisch sein, also unverändert bleiben, •wenn y s mit . y 2 

 vertauscht wird, was gegen die Voraussetzung C = o erfordern würde. 

 Genau dieselben Schlüsse linden auf die binomischen Differential- 

 gleichungen höherer Ordnung Anwendung und wir finden somit, dass, 

 wenn eine lineare homogene Differentialgleichung w ter Ordnung mit all- 

 gemeinen Functionalcoefficienten eine binomische Integralfunction erster 

 Ordnung und ersten Grades haben soll von der Form 

 y, = q r 1 -+- q I r,\ -+-... -+- q n _ 1 vf"~ l) , 



worin q , 7, . . . . q n _ 1 rationale symmetrische Functionen von y,, y 2 , . . . 

 und deren Ableitungen sind, und »), das Integral einer binomischen 

 Differentialgleichung 



n« = sn 



ist, in welcher s wiederum aus jenen Elementen rational und sym- 

 metrisch zusammengesetzt ist, und die in dem Sinne irreductibel ist, 

 dass sie mit keiner gleichartigen linearen homogenen Differentialglei- 

 chung niederer Ordnung ein Integral gemein hat, so muss die bino- 

 mische Differentialgleichung von der ersten Ordnung sein, und y, so- 

 mit die Form haben 



y, = g *i« 1 



was unter Voraussetzung der Irreductibilität der y-Gleichung selbst- 

 verständlich ist. 



Nehmen wir nunmehr an, eine lineare homogene Differential- 

 gleichung m'" Ordnung mit allgemeinen Coefficienten besitze eine bi- 

 nomische Integralfunction erster Ordnung, aber zweiten Grades — 

 wie es oben für die allgemeine lineare Differentialgleichung 2 ter Ord- 

 nung gezeigt war — , und sei 



(67 ) //, = q vi t ■+■ q z % -+-... -+- Jn-j^" -1 *, 

 worin 



(68) q a = «„&, ■+-*„&;+ . . . +^„ l ._ 1 C- ( 1 —'. 



.-••„; rationale symmetrische Functionen von y : , y 2 , . . . und deren Ablei- 

 tungen sind, 9-, und >), Integrale der binomischen Differentialgleichungen 



(69) :-' ' = sS-, y' : " = er, 



Sitzungsberichte 1909. 28 



