Koenigsberger : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. .V2\ 



ist, und s ,s z ...g symmetrische Functionen der Elemente bedeuten, 



sich unter der Annahme »t =■ 2 



■ ! 2 S 



S, )*!, 



ergeben. Diese Differentialgleichung- in y, müsste aber mit der irre- 

 ductibeln Differentialgleichung (38) für tri = 2 



(73) y"-*-/. (•%.'+/* (#)y. = o 



identisch sein, oder es müssten sich die Grössen s a , s s und er so als 

 rationale symmetrische Functionen von y t ,y 2 , y[ , y 2 ' bestimmen lassen, 

 dass die Coei'ficienten der Differentialgleichung (72) den willkürlichen 

 Functionen /', und f 2 gleich sind. Dies ist jedoch nicht möglich, da 

 dieselbe die Form hat 



1 r d , 



Vi {sl + s s 1 — s I s a — s,<r) — y,— t.f--t-s s, — s t s a — s\<r)-hP = o 

 und somit 



$1 -+- s Si — Sj So — sj o" = ce 



= c(y I y 2 — y,y t ) 



sein müsste, was, wie leicht zu sehen, dem oben ausgesprochenen Satze 

 von der rationalen Ausdrückbarkeit einer rationalen symmetrischen 

 Function von y,, y 2 , y[ , y' 2 durch das Product einer rationalen Function 

 von /', , / 2 und deren Ableitungen in eine ganze Potenz von e~" 1 ' 

 widerspricht. 



Um nun zu untersuchen, ob eine lineare homogene Differential- 

 gleichung mit allgemeinen Functionalcoefficienten eine binomische In- 

 tegralfunction erster Ordnung und höheren Grades besitzen kann, wollen 

 wir wieder von der linearen Differentialgleichung 2 ter Ordnung (73) 

 ausgehen und untersuchen, ob dieselbe stets eine binomische Integral- 

 funetion i ter Ordnung und 2 t,m Grades hat. Genügen S-, und vi, den 

 beiden binomischen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung 



(74) 3-' = sS-, *)" = ervj , 



worin s und er rationale symmetrische Functionen von y, ,y = ,y x ',// 2 ' 

 sind, und setzt man 



9", vi, . 



(75) 



y. 



