('.Schumi;: Die Beugung elektromagnetischer Wellen. 331 



Speziell folgt aus (7): 

 (7 a) Q,„(x) = rQ u (x). 



Das allgemeine Integral von (5) erhält man daher in der Form: 



(8) b m J m (kr) + aArs m (kr)-^J m (kr)\. 



Bezeichnen wir die Werte k 1 r durch p, (Außenraum), k 2 r mit p 2 

 (Innenraum), so folgt aus (6) und (4) für den Außenraum: 



(9a) ß, = «?'"' V 0,„J„,(]h) + a,„ A* ra (/>,) - K J a {pM cos mcp , 



für den Innenraum : 



( 9 b) e 2 = e""^\b:„.],„{ lh ) + cl U m (p s ) - i-JJi.tp.jjlc 



cos «icp 



Die Koeffizienten a m und b m sind durch die Grenzbedingungen (2 a, 

 2 c, 2 d) bestimmbar. Man erhält durch einfache Rechnungen : b = 1 ; 

 b m = 2 i'" ; ferner alle a m = ; endlich erhält man für die für uns 

 wichtigsten Koeffizienten a m folgende Gleichung: 



(10) 



A:(7r,) -- r -f A„ TT,) 



J,n(7ri) j ^ ^ - TT «M^l) 



+ 



2 ' 



TT, und tt 2 sind die Werte von p l und p, für r = p. Für ?n = ist 

 der Faktor 2 auf der linken Seite zu streichen. Eine ähnliche Gleichung 

 erhält man auch für die Koeffizienten b' m , die uns im Folgenden jedoch 

 nicht interessieren. Wir erhalten also endgültig: 



g, 



e'"< 



^ a m \K m (p t ) - — J,„ (;;,) cos m 9 + J (;;,) + ^ 2t m J m {jh) cos m<p 

 . ' ' 1 J 



^ a,„ K m {pi) - — J,„ (pj cos mq> + e*i co 



Diese Reihen sind im Falle, daß klein ist, gut konvergent, so daß 



man sich auf die ersten Glieder derselben beschränken darf; die 

 komplexen Ausdrücke (11) sind natürlich so zu verstehen, daß die 

 reellen Teile zu nehmen sind. Man kann demgemäß S, stets auf die 

 Form brin eren : 



(12) 



©! = A cos nt + B sin nt 



1 Vgl. dafür z. B. Gray und Matthews, S. 18, Gl. (39) ff. 



