514 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 1. April 1909. 



Über Matrizen aus positiven Elementen. IL 



Von G. Fkobenius. 



iLine Matrix A nenne ich positiv, /1>0, wenn jedes Element a nl > 

 ist, nicht nryativ, A > 0, wenn a a& > ist. Die in meiner Arbeit Über 

 Matrizen aus positiven Elementen, Sitzungsberichte 1908 entwickelten 

 Sätze lassen sich verallgemeinern. Für den Satz, daß die größte posi- 

 tive Wurzel von A absolut größer ist als jede andere Wurzel, wird 

 sich dabei ein erheblich einfacherer Beweis ergeben. 



§ 5- 

 Die charakteristische Gleichung <p (s) — jeder positiven Matrix A 

 hat eine positive Wurzel. Die größte r, die ich die Maximalwurzel 

 von A nennen will, ist eine einfache Wurzel, und für s > r sind die 

 Unterdeterminanten A a3 (s) der Determinante |sii-.4| alle positiv. Da- 

 her kann man den n linearen Gleichungen 



>* «„s zu = rz„ (a = 1 , 2, ■ • ■ n) 



B 

 durch lauter positive (> 0) Werte z 1 ,z t ,---z„ genügen. 



Dieser Satz läßt sich umkehren. Es sei q irgendeine Wurzel 

 der Gleichung <p (s) — , und es sei möglich, den n Gleichungen 



2, a^yn = qy a 



durch nicht negative Werte y, ,y 2 , • • -y„ zu genügen, die aber nicht alle 

 Null sind; dann zeigen diese Gleichungen zunächst, daß q reell und 

 positiv ist. Nun kann man, wenn r die Maximalwurzel von A ist, 

 den Gleichungen 



>, a„g,x a = rXji 



durch positive Werte x 1 , x% , • • ■ x„ genügen. Daher ist 

 q"% X «V» = X a aß x a y s = r^ x & yg, , 



also q = r, da "V x a y a von Null verschieden ist. 



