Frobenius: über Matrizen aus positiven Ele oten. II. 515 



Die Maximalwurzel r ist als die größte positive Wurzel der G-lei- 

 chung <p (s) = definiert. Ich will nun zeigen, daß sie auch absolut 

 größer ist als jede negative oder komplexe Wurzel dieser Gleichung. 

 Denn sei p eine solche. Dann kann man .i\,.r... ,r so bestimmen, daß 



2^ a a i-«i - /■■>; 

 wird. Ist y~. der absolute Wert von .r. , so ist 



I ^ a a ß H < X "sy» ■ 



& ' s 



Die Gleicheit ist ausgeschlossen. Denn sie könnte nur eintreten, wenn 

 sich x, , x 2 , • ■ ■ x„ von y x , y a , ■ • ■ y„ alle um denselben komplexen oder nega- 

 tiven Faktor unterschieden. Dieser würde sich in der obigen Glei- 

 chung heben, es wäre ^£«„3^,3 = py«, und mithin wäre /) eine reelle 

 positive Größe. 



Ist also q der absolute Wert von p, so ist 



^ aa&üli > Ma- 

 li 



Nun kann man. da r die Maximalwurzel von A ist, n positive Größen 



z x , z 3 , • ■ ■ z n so bestimmen, daß 



ist. Demnach ist 



r X y &s& = S a «s> z "ys- > ?X y»*- 



und mithin r > g. Dieser überaus einfache Beweis zeigt die große 

 Fruchtbarkeit der Methode von Cauchy. 



Auf demselben Wege kann man aber zu einem weit allgemeineren 

 Resultate gelangen. Die Elemente der Matrix A seien jetzt beliebige 

 komplexe Größen. Ist p eine Wurzel von A, so kann man x t , x s , • ■ • x n 

 so bestimmen, daß 



2 a a i%3, = px a 



ß 



wird. Seien yj,,q die absoluten Werte von %$,p, und sei b aä eine 

 positive (>0) Größe, die nicht kleiner als der absolute Wert von a aS> 

 ist. Dann ist 



2 K&ys, > qy«- 



Ist r die Maximalwurzel der positiven Matrix B, so kann man 

 positive Größen z x , z % , • ■ • z n so bestimmen, daß 



^ b„.i:„ = rz ß 



