516 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 1. April 1909. 



wird. Aus diesen Beziehungen ergibt sich wie oben q < r. Da diese 

 Ungleichheit gilt, solange b nli > und b cil nicht kleiner als der abso- 

 lute Wert von a aS ist, so bleibt sie bestehen, wenn für o„ 3 = auch 

 b a g = ist. 



Ist b aS der absolute Wert der komplexen Größe a aS>J so ist keine Wurzel 

 der Matrix A absolut größer als die Maximalwurzel der nicht negativen 

 Matrix B. 



Erst dieser Satz setzt die Bedeutung der Maximalwurzel einer 

 nicht negativen Matrix in das rechte Licht. Sie ist die obere Grenze 

 der absoluten Werte der Wurzeln aller Gleichungen | A -sE\ = 0, deren 

 Elemente a a:i absolut < b ni sind. Daraus ergibt sich ohne Benutzung 

 der Differentialrechnung, daß r wächst, wenn irgendein Element der 

 nicht negativen Matrix B zunimmt. 



§6. 



Ist o die größte Wurzel der symmetrischen positiven Matrix C, 

 und ist s>v, so ist die quadratische Form 



*2 ^ — X Ca!i Xa 



x & 



eine positive Form, weil ihre Hauptunterdeterminanten alle positiv sind. 

 Daher ist für alle Werte der Variabein 



^ C tt ßX a X S , < (»X x\. 



Ist nun r die Maximal wurzel der positiven Matrix A. und ist 

 ^ a*zxg, = rx„, 



so ist 



oder wenn man 

 setzt, 



> n„3 x„ Xß = r ^? x^ , 



3*3 + 0,3« = 2c aS = "l c &« 



•^ *l = ^c a& x„x li < t>^ xl 



und mithin r<r. Der Beweis stimmt mit dem von Hirsch überein, 

 benutzt aber nicht die Sätze über die Maxima und Minima der Funk- 

 tionen mehrerer Variabein. 



Ferner ist, wenn x, , • • • x„ und y lt ••• y„ positive Größen sind, 



(a„, Xi+ ■■■ + a an x„) («!„,(/, + • ■ • + a„„y„) >(\/a al x 1 Va^t/t + ■■■ + \a an x n Va„ a ij„f. 



