Frobenius: Über Matrizen aus positiven Elementen. II. 517 



Nun sei 



«oi *!+•••+ a«„ x„ = rx„ , «i«,'/i + • • • + «„„>/„ = ry a 



und 



l/o„3 a#« = b a & = 6, :„ , | '.)•„ i/„ = z„ . 

 Dann ist 



(I.) Ö«l*l + ■•• +b m Z„ < /T„. 



Nun sei w die größte Wurzel der symmetrischen positiven Matrix B 

 und 



(2.) />„,<, + •■• + /;„„/„ = ut a , 



avo /,,••/„ positiv sind. Dann folgt aus (i.) und (2.) 



und mithin ist r>u. Demnach ist 



(3.) u<r<v, 



wenn r, u , v die größten Wurzeln der Gleichungen 



| a» K — se xX | = 0, | I <■'„> n>„ — se M | = , — («,, + a>, K ) — *<"„>. = 



sind. 



§7- 



Ist tp(s) die charakteristische Funktion einer positiven Matrix, so hat 

 die Gleichung cp w (s) = eine reelle positive Wurzel. Die größte r, ist 

 eine einfache Wurzel, und es ist r„ > r, > r 2 > ■ • • > r„ , . 



Smrf rfie Elemente der Matrix reelle positive Variabele, so wächst r u , 

 irr//// eins dieser Elemente zunimmt. 



Der letzte Teil dieses Satzes läßt sich noch schärfer so ausdrücken: 



Ist r die größte positive Wurzel der Gleichung A^(s) = 0, und ist 

 s>r, so ist A^l(s)>(). Dagegen ist A (a ~ l) (r) < 0. 



Für positive Matrizen B,C,--, deren Grad < n ist, nehme ich 

 diese Behauptungen schon als erwiesen an. Ist der Grad von A gleich n, 

 so ist der Satz für a = richtig. Ich setze ihn auch für alle Ab- 

 leitungen von <p(, 1 ?) = A(s) als richtig voraus, deren Ordnung < p ist. 



Nach § 1 ist 



A(s) = (s-a m )B(s) -^ «U^B-xW 



und 



x.>. 



Differenziert man die erste Gleichung f/mal, so erhält man 



