518 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 1. April 1909. 



Da B(s) = A a „(s) nur vom (n-l) ten Grade ist, so hat die Glei- 

 chung B u) (s) = eine positive Wurzel q, wofür JS*," 1 (q) > und 

 B u - !) (q)<0 ist. Daher ist A {u) (q)<0. Folglich hat die Gleichung 

 A M (s) = eine positive Wurzel, die > q ist. Ist r die größte, so 

 ist r > q für jeden Wert von «. Ist s>r, so ist s > q und mithin 

 A<£(s)>0. 



Ist p die größte positive Wurzel der Gleichung C ,u) (s) = 0, so 

 ist demnach p<q<r. Ist s>p, so ist C (u) (s) und C { ^(s) positiv, 

 also auch 



41 W = «-/3 cm (,) + ^ «-.«xß c w («) . 



»,x 



Ist )u = n — 2, so ist 



eine positive Konstante. Endlich ist 



4<»+0(«) =2 42tö- 



Daher ist A ( " +1) (r) > 0, also ist r eine einfache Wurzel der Glei- 

 chung A M (s) = 0. 



Ist r' die größte positive Wurzel der Gleichung 4/(s) = A (u_1) (s) = 0, 

 und ist s>r', so ist J.^ _1) (s)>0 und mithin auch \//(s) = A (u, (s)>0. 

 Da nun A w (r) = ist, so muß r<r' sein. Ferner ist r die einzige 

 Wurzel der Gleichung v|^(s) = 0, die >r ist. Denn wäre auch r">r, 

 also r'>r">r, so müßte nach dem Satze von Rolle zwischen r' 

 und r" eine Wurzel der Gleichung ^ '(.■?) = liegen, es wäre also r 

 nicht die größte Wurzel der Gleichung -Jy'(s) = 0. Da r' eine ein- 

 fache Wurzel der Gleichung \^ (s) = ist, so ist demnach A {u ~ i) (r)<0. 



Aus der Beziehung 



folgt, wie in § 4, daß r = r u wächst, falls irgendeine der Größen a a& 

 zunimmt. 



Ist s>r, so sind auch die uten Ableitungen aller Hauptunter- 

 determinanten von A(s) positiv, z. B. derjenigen vom Grade u + l, 

 d. h. r ist größer als das arithmetische Mittel von irgend u + 1 der 

 Hauptelemente a u , a 22 , ■■■ a, m . 



Für \x — n - 2 ist z. B. 



wr„_ 2 = a n + ■ ■ ■ + a nn + 1/ — — ^ ((a„„ - a^) 2 + 2rca„ 3 a äa ) , 

 wo a, /3 die —n(n~\) Paare der Indizes 1, 2 ■•■11 durchlaufen. 



Ausgegeben am 15. April. 



