T32 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 27. Mai 1909. 



Neue Sätze über Symmetralfunctionen und die 

 ABEL'schen Functionen der RiEMANN'schen Theorie. 



Von F. Schottky und H. Jung. 



Zweite M i 1 1 h e i 1 u n g. 



§4- 

 lJie Functionen *| besitzen die Fundamentaleigenschaft, dass das Pro- 

 duct zweier zusammengehöriger >) , 9- sich als Summe von Quadraten 

 der darstellen lässt. Es folgt hieraus, dass die zu den vj gehörige 

 Classe AßEi/scher Functionen (ebenso wie die der S-) in der Classe (0) 

 enthalten ist, und dass, wenn man für die Variabein u , r , w die ihnen 

 entsprechenden Integrale einsetzt, nicht nur jede AisEi/sche Function 

 der Classe »j, sondern auch der Quotient 



~& 



in eine rationale Function von p, q, z übergeht. Da inc + T Punkten, 

 S- dagegen in r Paaren conjugirter Punkte verschwindet, so ist ») eine 

 Transcendente des Körpers p,q,z, die 2C Nullpunkte besitzt. 



Wir denken uns eine Linie A gezogen, die von einem Punkte des 

 Körpers zu seinem conjugirten führt und die Werthe der Integrale u 

 im Anfangspunkte von A beliebig festgelegt. Damit sind die Integrale 

 längs der ganzen Linie und deren Umgebung eindeutig definirt. Das- 

 selbe gilt von den Integralen v und w, denn die letzteren sind be- 

 stimmte lineare homogene Functionen der u. Gehen wir, mit Be- 

 nutzung des Weges A, von einer Stelle £ in der Nähe des Anfangs- 

 punktes zu der conjugirten | in der Nähe des Endpunktes über, so 

 erhalten wir neue Werthe : ü , ?■ , w , die nun aber auch als Functionen 

 des Punktes £ betrachtet werden können. Damit sind, neben 0(w) , 

 f[{v) , §(w) auch 0(w) , q(v) , &(mj) definirt als Functionen von £, und zwar 

 eindeutig für jede Linie, die von einem Punkte von A ausgeht. 



Für den Körper (p , q) ist die Linie A eine geschlossene; die 

 Systeme (w) und («) unterscheiden sich daher nur durch Perioden, und 



