Schotte und H. Jung: ABKL'sche Functionen. II. i '.V.\ 



$(w) von 9-(w) durch einen Exponentialfactor. Dagegen geht jedes Inte- 

 gral von der Form 



^R(p,q)dp 



H 



auf dem Wege X in den entgegengesetzten Werth über, zu dem noch 

 eine konstante hinzutreten kann. Wir schreiben daher: yi(v) = v\{c, — v). 

 Das Product von y(c) mit r ; (r) nennen wir die Norm /(/>. 



Wenn man die Integrationsconstanten ändert, so tritt zu (v) und 

 zu (») ein und dasselbe Constantensystem (b) hinzu. Die Norm von 

 yi(c>) wird dadurch geändert, aber nur um einen Factor, der eine ratio- 

 nale Function von p , q ist. Denn da v ■+- o constant ist, so stellt 



vi{b -t- v) vi(b -h v) 

 vi(v)v\(v) 



eine rationale Function von p,q,z dar: da sie umgeändert bleibt, 

 wenn man längs Ä von r zu £ übergeht, so ist sie rational in p , q. 

 Ebenso ändert sich Norm v\(v) nur um einen in p,q rationalen Factor, 

 wenn man y,{r) durch irgend eine andere des Systems der 4" Func- 

 tionen ersetzt. Da v\{v) im Körper (p , q , z) 21 Nullpunkte besitzt, 

 so hat die Norm von yj(v) ebenso viele Nullpunkte im Körper (/>.</). 

 Wir denken uns einen Punkt £', der mit X durch eine Linie ver- 

 bunden ist, so dass die Integrale u . r . w in ihm bestimmte Werthe u, v , w' 

 besitzen. Wenn wir dann y\(v — v') bilden, so ist dies eine speciellere 

 Function als »](»); denn bei den Integralen u,v,w haben wir nicht 

 vorausgesetzt, dass sie sämmtlich in einem Punkte verschwinden. Wir 

 wählen zwei bestimmte zusammengehörige ungerade Functionen r\,§ 

 und ein ebenfalls ungerades 0: die Differentiale, die den drei linearen 

 Anfangsgliedern entsprechen, seien dv , che und du. Nach der früher, 

 in der ersten Mittheilung aufgestellten Formel ist: 



y\(v — v')§(w — w ') dvdw' -hdwdv' 

 ®*(u — u) 2 du ihi' 



Zu den 2C-H27 — 2 Stellen des Körpers (p , q , z), an denen dv 

 verschwindet, gehören, wie aus dieser Gleichung unmittelbar zu er- 

 kennen ist, die t — 1 Paare, an denen gleichzeitig §{ic — w') und dw 

 verschwinden, dw versehwindet in diesen r — 1 Punktepaaren von der 

 zweiten Ordnung, von der ersten aber in den 2« sich selbst conjugirten 

 Punkten des Körpers (p , q , z), die wir die Grundpunkte nennen wollen. 

 Wenn wir nun bilden 



dw 



