7r54 Sitzung iler [ilivsiUalisch-mathematischen Classe vom 27. Mai 1909. 



so ist dw ein rationales Differential dritter Gattung des Körpers p , q ; 

 es wird von der ersten Ordnung unendlich in den 2ti Grundpunkten, 

 und seine 2«+:r — 2 = 2-7 Nullstellen lallen paarweise zusammen. 

 - Wir können nun unsere Formel so schreiben : 



du du %(w — 10 ') , j/c/vr [W + j/^r' jA/«> 



■*l(o — ) = - — ■ 



2 (« — «') j/rfw | rf W ' 



Daraus folgt unmittelbar, dass die 2 0" Nullstellen der Norm von y\(v — c' 

 identisch sind mit denen des Differentials: 



dwdw — dw' dw . 



Es ist nun aber leicht zu sehen, dass man setzen kann : 



•£ (dw dw ' — dw ' dw) 



Norm y\(v — v') 



= dsds' , 



wo s eine transcendente Function von p , q ist, deren Differential nie 

 verschwindet, aber in den 2ti Grundpunkten unendlich wird, s' ist 

 dieselbe Function von p', q '. 



Denn ersetzt man in dem aufgestellten Quotienten £' durch irgend 

 einen anderen Punkt, so erhält man einen neuen Ausdruck, der eben- 

 falls nicht verschwindet, und der an denselben Stellen von derselben 

 Ordnung unendlich wird, wie der erste. Der Quotient beider Aus- 

 drücke kann demnach weder o noch 00 werden. Er ist aber rational 

 in (p , q); folglich ist er von p , q unabhängig. Da ausserdem dieses 

 Doppeldifferential symmetrisch gebildet ist in Bezug auf £ und £', so 

 ist unsere Behauptung bewiesen. 



Wir schreiben demnach: 



f dw dw' dw' dw\ 

 Norm „(,_,,) ^—-— — —j. 



•4(0 



-»*, = e(£ , m (j/*j/f + }/^j/f) 



Durch die letztere Gleichung wird ein sehr wichtiger Factor 

 £ (£)£') eingeführt. Er ist zunächst gegeben durch den Ausdruck: 



Vdwdw' Q 2 (u — «') -_ T 

 3-(w — w) du du 



Einfacher aber ist es, log(e) zu definiren als das reducirte Nor- 

 malintegral dritter Gattung des Körpers p , q ,z. Es kann e(£, £') nur 

 verschwinden im Punkte £', wo gleichzeitig 0(w — u') und S-(to — w') = o 

 ist, nur unendlich werden in dem zu £' conjugirten Punkte, wo S-(?r — w ') 

 verschwindet, Q(u — u) aber nicht. In den 211 Grundpunkten erhält e 



