Schottks und II. Jung: ABEt'sche Functionen. II. lol 



durch einen Factor unterscheidet, der das Quadrat einer rationalen 

 Function von p , q ist. 



Wir zerlegen die Reihe der 2n Punkte in zwei Reihen, und zwar 

 so, dass beide entweder gleichviele Punkte enthalten, oder dass wenig- 

 stens die Differenz der Anzahlen durch 4 theilbar ist. Solcher Zer- 

 legungen, die wir eigentliche nennen, existiren 4" - ' . 



Zu jedem Punkte £„ gehört ein Factor £(£,£„). Wir bilden, der 

 angenommenen Zerlegung entsprechend, aus den sämmtlichen 211, Func- 

 tionen £(£,£„) einen Quotienten, indem wir jeden Factor e(?,^„) in 

 den Zähler oder Nenner aufnehmen, je nachdem der Punkt £„ der ersten, 

 aus n-\-2h, oder der zweiten, aus n — 2I1 Gliedern bestehenden Reihe 

 angehört. Wir bezeichnen ihn mit ±E(P), indem wir das Vorzeichen 

 für den Augenblick unbestimmt lassen. Jedenfalls geht E(£) auf der 

 Linie A in seinen reeiproken Werth über. 



Es ist klar, dass die Function 



VH(p,q) 



sich in jedem Punkte des Körpers (p , q) wie eine rationale von p , q 

 verhält. Sie ist transcendent, kann aber durch Multiplication mit 

 einem ^-Quotienten in eine algebraische, und zwar eine rationale von 

 />,<:/, z übergeführt werden. 



Nach der im vorigen Paragraphen aufgestellten Formel ist: 



_ Vdwds @ 2 (u — u a ) 



E(P , £ ) = ÜOnSt. ; jr— - : . 



Setzen wir dies in den Ausdruck von £"(£) ein, so tritt der Factor 



dw ds 



du 2 



heraus. Wir multipliciren nun E(ty mit 



K 2 *" Q 2 (u — nj " 3- 2 (w — wl) 

 H = „U §{w — w a ) 11 4 ]«^<) ' 



Wir erhalten dann ein Quadrat; es ergiebt sich: 



T VE n (dwdsY-n ®*(u — «JA S-(»" — w l) 



K~r^ = Const. I - 7 -,- I I I ~ , — n ^ > 



]/H V du J ■ $( w — "0 «=> ® ( u — O 



wo das erste Product nur über die n-i- 2I1 Punkte £„ der ersten Gruppe 

 zu erstrecken ist. 



