740 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 27. Mai 1909. 



unter der jetzigen speciellen Voraussetzung über die Constanten der 

 Integrale, dW ebenfalls ein Differential mit zusammenfallenden Null- 

 punkten ist 1 . Wir wollen es mit dir, bezeichnen, und mit demselben 

 Index Ä auch die ungerade 9--Function, deren Anfangsglied diesem Diffe- 

 rential entspricht, sowie die halbe Periode, die S- in S- x überführt. 



§ 6. 



Für die ungeraden Theta eines beliebigen algebraischen Körpers 

 gilt, wenn man für die Variabein die ihnen entsprechenden Integrale 

 einsetzt, erstreckt zwischen zwei Punkten £' und £, die Formel 



A<-> = du du . 

 Es ist hier du ein Differential erster Gattung mit zusammenfallenden 

 Nullpunkten ; A kann als transcendentes Doppeldifferential bezeichnet 

 werden, das nie o wird, aber von der zweiten Ordnung unendlich. 

 wenn die beiden Punkte zusammenfallen. 



Es ist klar, dass A0 ! auch dann ein rationales, und zwar symme- 

 trisches Doppeldifferential ist, wenn man unter eine der geraden, 

 nicht mit den Variabein verschwindenden Functionen versteht. Wir 

 können demnach sagen, indem wir nur die Veränderlichkeit von £ 

 berücksichtigen, und von constanten Factoren absehen, dass die sämmt- 

 lichen Theta des Systems, soweit sie nicht bei der Substitution identisch 

 verschwinden, proportional sind den Quadratwurzeln aus Differentialen 

 erster und zweiter Gattung. Die letzteren werden nur im Punkte £' 

 unendlich, und zwar von der zweiten Ordnung; sie gehören zu den 

 geraden . Alle aber haben die Eigenschaft, dass ihre Nullpunkte 

 paarweise zusammenfallen, so dass man sagen kann: Nicht nur du 

 selbst, sondern auch ]/du verhält sich im Körper rational. 



Unsere Untersuchungen geben insofern eine Erweiterung der 

 RiEMANN'schen Theorie, als die mit dem Körper p,q, VH(p,q) zu- 

 sammenhängenden Symmetralfunctionen zum Theil mehr Parameter ent- 

 halten, als die RiEMANN'schen Functionen von gleichvielen Variabein. 

 Indessen, der Hauptsache nach sind sie eine Verallgemeinerung der 

 schon vor Riemann vorhandenen hyperelliptischen Theorie. Gerade 

 deshalb ist es von grösster Wichtigkeit, die Wurzelgrössen ]/du des 

 Körpers (p , q , ]/H(p,q)) so genau wie möglich zu bestimmen. Bei 

 den eigentlichen hyperelliptischen Functionen begegnet diese Aufgabe 

 gar keinen Schwierigkeiten. Die Grössen \ du haben dort die Form: 



\ / j- / x — x 



\Vr{x') Vr(x) i 



Vergl. Wirtinger, Untersuchungen über Thetal'imctionen, S. 99. 



