ScnoxTKV und H. Jung: AnEt/sche Functionen. II. 741 



wo R(x) eine rationale Function bedeutet, die in 211 festen Punkten 

 null und unendlich wird; jeder eigentlichen Zerlegung der in Punkte 

 entspricht eine Thetafunction. Will man nur diejenigen Wurzelgrössen 

 beibehalten, deren entsprechende Theta nicht identisch verschwinden, 

 sobald man für die Variabein die von £' nach £ erstreckten Integrale 



setzt, so hat man die beiden Formen genauer so zu definiren. Bei 



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VR(x) Ydx muss die rationale Function R(x) in n — 2 der 2n Punkte 

 verschwinden, in n + 2 unendlich werden; bei der anderen Form sind 

 Zähler und Nenner von gleichem Grade. Bei den Grössen ydu des 

 Körpers (p , q ,VH(p , q)) sind die Formen natürlich mannigfacher. 

 Dieser Körper mit den 211 Grundpunkten £„ ist vom Geschlechte 

 2T-J-?« — 1, er besitzt also a t " +n ~ l Thetafünctionen. Die ihnen ent- 

 sprechenden Wurzelgrössen zerfallen in 4" grosse Gruppen von je 

 4 r+ " - ' Gliedern, den halben Perioden des Körpers (p , q) entsprechend. 

 Darunter ist eine Hauptgruppe, die Gruppe (o), die zur ganzen Periode 

 gehört. Die Wurzelfunctionen der Gruppe (o) sind leicht darzustellen 

 durch die S- des Körpers (p , q), und hier findet die grösste Analogie 

 mit den gewöhnlichen hyperelliptischen Functionen statt. Betrachten 

 wir die Wurzelfunctionen, die zu einer andern halben Periode x ge- 

 hören, so lassen sich auch diese verhältnissmässig einfach darstellen, 

 aber mit Hilfe der ^-Functionen von r — 1 Variabein, die zur Curve 



dn\ 

 G(p,q) = 0, Z* = — 



gehören — so dass für jede dieser 4 r — 1 Gruppen eine besondere 

 Classe von »i-Functionen zu verwenden ist. 



Es kann dadurch der Schein entstehen, dass das Problem ein 

 übermässig complicirtes ist. Indessen ist zu bemerken, dass man sich, 

 wenigstens vorläufig, auf die Beziehungen beschränken kann, die inner- 

 halb einer Gruppe stattfinden, ferner, dass gerade die Fälle niedriger 

 Werthe von r von grosser Wichtigkeit sind. Schon der Fall t = 1 , 

 der erste nicht RiEMAim'sche, der überhaupt ausführlich behandelt 

 worden ist, ist nicht unwichtig; hier treten gar keine vi-Functionen 

 auf, und die Factoren £(£,£') sind algebraische. Im Falle t = 2 sind 

 die i\ elliptische, im Falle 7 = 3, der mit den allgemeinen ABEi/schen 

 Functionen von vier Variabein zusammenhängt, hyperelliptische Theta. 



Jede der \~ Gruppen zerfällt weiter in 4""" ' Familien von je \ 

 Grössen ydu, entsprechend den 4" -1 eigentlichen Zerlegungen der 

 Punktreihe £„. 



Die 4 r Grössen einer Familie, die schon in unseren früheren Ar- 

 beiten als verwandte bezeichnet werden, können einzeln den 4" Func- 

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