Schottkv und H. Jung: AßEL'sche Functionen. 11. 74/ 



Diese Wurzelgrösse Ydu entspricht einer geraden Function des Kör- 

 pers, die nicht mit den Variabein verschwindet. 



Wir denken uns jetzt eine Zerlegung, bei der die erste Reihe 

 aus n — 2, die zweite aus n-\- 2 Punkten besteht, und bilden: 



V 



E-fooat"-^ 



Dann ist du wiederum ein Differential des Körpers mit zusammen- 

 fallenden Nullpunkten, und zwar von der ersten Gattung. An den- 

 jenigen Stellen, wo gleichzeitig dw und S-(m; — w') verschwindet, wird 

 zwar |/Q(£) unendlich, aber dw verschwindet dort von derselben Ord- 

 nung, und ]/Q(£)dtc wird nicht unendlich. 



Die hier zuletzt definirten Grössen ydu entsprechen ungeraden 

 Functionen des Körpers (p , q , VH(p, q)), und zwar solchen, die mit 

 den Variabein von der ersten Ordnung verschwinden. 



Nun lassen sich ausserdem, wenn n grösser oder gleich 4, also 

 die Zahl der Grundpunkte mindestens gleich 8 ist, noch andere Grössen 

 ydu aufstellen. Es möge die eine Reihe aus n — 2k, die andere aus 

 n-\-2k Punkten bestehen, und k grösser als 1 sein. Alsdann kann 

 man bilden: 



wo P(£) ein Product von k — 1 Factoren S-(ifl — w) ist, und die («?') 

 Werthsysteme bedeuten, die von den Integralen (w) in k — 1 will- 

 kürlich gegebenen festen Punkten angenommen werden. Das Constanten- 

 system (c') lässt sich so wählen, dass auch du ein rationales Diffe- 

 rential ist. 



Jedem solchen Ausdrucke entspricht eine Function 0, deren Ent- 

 wicklung mit der kten Dimension anfängt und die demnach gerade 

 oder ungerade ist, je nachdem k eine gerade oder ungerade Zahl ist; 

 auf die Wahl der k — 1 willkürlichen Punkte kommt es dabei gar nicht 

 an. Aber alle diese © verschwinden identisch, wenn man für die 

 Variabein die von £' bis r erstreckten Integrale einsetzt; wir können 

 sie deshalb bei unsrer jetzigen Betrachtung unberücksichtigt lassen. 



Dass, wenn die Anzahl der Grundpunkte grösser oder gleich 8 ist, 

 gerade auftreten, die gleichzeitig mit den Variabein verschwinden 

 (im Falle 211 = 8 sind es \ r ), ist eine Thatsache, die für die gewöhn- 

 lichen hyperelliptischen Functionen, also für die Syminetralfunctionen 

 des Falles r = o, längst bekannt ist. Wollte man sich beschränken 

 auf die Theta der Hauptgruppe (o), so hätte man eine Theorie, die 

 der hyperelliptischen unmittelbar analog ist. 



