748 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 27. Mai 1909. 



Setzt man in einem der Ausdrücke Vdu , die zur Hauptgruppe 

 gehören, für 3 zwei verschiedene Functionen 3-, und 3, ein, so be- 

 kommt man zwei verwandte Wurzelgrössen Vdu, , }du 2 , denen zwei 

 verwandte Theta, 0, und 2 , entsprechen. Man sieht sofort, dass 



0, § t (w — w') 



— von -— - 



2 § 3 (w — W) 



sich nur um einen in p , q , yH(p, q) rationalen Factor unterscheidet. 

 Es folgt hieraus, dass der Quotient 



0, S, 



07 : ^7 



eine AßEi/sche Function der Classe ist, wenn man die Variabein 

 der als unabhängig annimmt, während die der 3, in der bereits 

 besprochenen Weise, lineare homogene Functionen dieser p unabhän- 

 gigen Variabein sind. Ferner ist daraus der Schluss zu ziehen, dass 

 es eine halbe Periode giebt, die gleichzeitig 0, in 2 und 8-, in 3 a 

 überführt. 



Hier ist jedem einer Familie unmittelbar ein bestimmtes 3- zu- 

 geordnet. Bei den 4/ einander verwandten Functionen, die in einer 

 andern, von (o) verschiedenen Gruppe (x) eine Familie bilden, besteht 

 zwar derselbe Zusammenhang zwischen den und 3, aber er ist nicht 

 so unmittelbar zu erkennen. 



Betrachten wir eine Gruppe von vier nächstverwandten Grössen 

 Vdu, und zwar zunächst die beiden Grössen Vdu, und Vdu 2 , die 

 ungeraden entsprechen. Dann ist 



Vdü t VR— 1 



Vdu, Vä+i ' 



und dies ist offenbar das Product von z mit einer rationalen Function 

 von p,q,V H{p,q). Es ist daher: 



0, _ \{w — w') 

 ©. 3(mj — w)' 



wo / einen rationalen Factor bedeutet, und 3 eine der beiden zu »j ge- 

 hörigen Functionen des 3-Systems. 



Sind 0, , 2 die beiden geraden Functionen der Gruppen, so gilt 

 genau dasselbe. Nun nehmen wir an, dass 2 eine der beiden ge- 

 raden, eine der beiden ungeraden ist. 



