654 Gesammtsitzung vom 9. Juli. 



aber verschiedene logz haben, so werden die Exponenten 

 unter dem Summenzeichen die Summen mehrerer Qua- 

 drate sein. 



Multiplicirt man daher vier solche ^, die denselben 

 log g* aber verschiedene log^ haben, miteinander, so wird 

 der Exponent die Summe von vier Quadraten. Diese Summe 

 kann man bekanntlich auch auf andere Art als Summe von 

 vier Quadraten darstellen, und wir erhalten durch diese 

 einfache Operation ein allgemeines Theorem, aus dem als 

 specielle Fälle sowohl die Verljindung unserer Transcen- 

 denten mit den elliptischen Functionen als auch alle Fun- 

 damentaltheoreme über die Addition der elliptischen Inte- 

 grale der drei verschiedenen Gattungen folgen, auf die 

 man durch künstliche und schwierige Integrationen ge- 

 kommen war. « 



Es erscheint hiernach von besonderem Interesse, dass sich der 

 Gedankengang, welcher Jacobi zur Auffindung der Thetaformel geführt 

 hat, verfolgen und auch der Zeitpunkt dieser Auffindung genau ])e- 

 stimmen lässt. 



Ich habe schon in meinen »Bemerkungen über die jAcoBi'schen 

 Thetaformeln « ^ auf die Beziehungen hingewiesen, welche zwischen 

 der oben citirten Thetaformel und den Formeln in Jacobi's Aufsatz" 

 »Formulae novae in theoria transcendentium ellipticarum fundamentales« 

 bestehen. Unter diesen sind zwei als die wichtigsten herauszuheben, 

 erstens die in dem citirten Aufsatz mit (4) bezeichnete Formel : 



(B) sin am a sin am b + sin am u sin am {u + (' -\- f>) - sin am {u 4- o) sin am {11 + b] 

 = Jc^ sin ama sin am h sin am // sin am(?/ + a) sin am(M + b) sin am(?/ + « + b), 



und zweitens die mit (12) bezeichnete: 



e{o)G{u+a)@{u + b)&{a-i-b) . . , , ^/. 



(C) —-^ TT — 7—. — ; 7 — = I + A"sin am a sm am b sm am u sm am (u + « + «)■ 



^ '' &{a)@{b)@{i()@{n+a + b) v n / 



Jacobi sagt von der ersteren Formel: »Quae est formula nova, maximi 

 momenti per totam theoriam functionum ellipticarum«, und er leitet 

 daraus zuvörderst eine mit der letzteren inhaltlich übereinstimmende 

 Formel (9) ab, welche er als «formula nova fundamentalis« charakteri- 

 sirt. Erst dann gelangt er durch Veränderung der Bezeichnungen zu 

 der Formel (C) selbst. Nun geht aber auch umgekehrt die erstere 

 Formel (B) aus der letzteren (C) hervor. Denn wenn man die Function 

 von a, b, n, welche durch Subtraction des Ausdrucks auf der rechten 



^ Journal {"ür Mathematik Bd. 102, S. 269. 



^ Journal für Mathematik Bd. 15, S. 199 — 204. Ja« oin's Werke, Bd. I, S. 335 — 341. 



