(D) 



656 Gesainintsitziing vom 9. Juli. 



Y ( ^- '^o + ^'i + '^2 + ''3) = 2 ///„ , 



Y ('/^o " «I + «2 + '^3) =^ 2 W^, , 

 T ("ü + '^ — "2 + "3) = 2 '///.2 , 



j {n^ + n^ + JL, — «3) —: 2 w^3 , 



in welchen die vier Ausdrücke links, wegen der Bedingung: 



n^ ^^ ?ii ^ n., ^ n^ (mod. 2) 



entweder sämmtlich gerade oder sämmtlich ungerade sind. Es muss 

 deshalb ferner für je zwei zu festen Werthen von: 



//„ + n\ + ^<2 + >A ' ■'^o + n, , «0+ ^^ 5 ^^o + »-i 



gehörige Systeme von Zahlen n^ , n, , n^ , n.^ . welchen keine ganz- 

 zahligen Werthe in^, )n^, in.,, jn., entsprechen, der Exponent von — i 

 auf der linken Seite der Gleichung (C"), nämlich: 



das eine Mal gerade und das andere Mal ungerade sein. Dies ist 

 nun in der That der Fall: denn je zwei dieser Systeme: 



K, n,, n.,, n.^) , «, n[ , //J, n^) 



sind durch die Relationen: 



Y (i'^o + '^1 + 'i> + ''3) = K , 



V {n^ + n, — «2 - 71.) = n[ , 



(E) 



^- {?Iq — w, -i-n., — n^ 



n^ 



mit einander verbunden. Die Differenz: 



T («o + ^^ + ih + 'S) — T ('^o + n[ + v/.' + y^/) 

 ist hiernach gleich : 



und also ungerade, sobald die Relationen (D) nicht durch ganzzahlige 

 Werthe von m^, w?, . w?., , m„^ befriedigt werden. 



Die durch die Relationen (D) oder (E) gegebene Transformation 

 der Summationsbuchstaben n^, n^, n,,, n.^, welche sich bei der hier 

 dargelegten Verification der Formel (C) mit Nothwendigkeit ergiebt, 

 legte Jacobi die oben angefülirte, die Multiplication von vier Theta- 

 reihen betreffende Bemerkung, mit welcher er die Entwickelung des 

 »neuen Fundamental theorems« in seinen Vorlesungen eingeleitet hat, 

 sehr nahe. Denn die Transformation: 



