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Neuer Beweis des Satzes, 

 dass jede ganze rationale Function einer Veränder- 

 lichen dargestellt werden kann als ein Product aus 

 linearen Functionen derselben Veränderlichen.' 



Von K. Weierstrass. 



(Vorgetragen am 21. Februar 1889, X.) 



Uhgleich wir gegen Avärtig von dem in Rede stehenden Fundamental- 

 theoreme der Algebra eine Reihe strenger Beweise besitzen, so dürfte 

 doch die Mittheilung der nachstehenden Begründung desselben, deren 

 Eigenthümlichkeit hauptsächlicli darin besteht, dass sie ohne Heran- 

 ziehung von Hülfsmitteln und Begriffen, die der Algebra fremd sind, 

 rein arithmetisch durchgeführt wird, vielen Mathematikern nicht un- 

 willkommen sein. 



1. 



Bezeichnet man, unter x, x^, . . . x^ unbestimmte Grössen ver- 

 stehend, mit 



(^i, . . . xX ("= I,---") 



die ganze Function von x^, . . . x^, welche in der nach Potenzen von x 

 ausgeführten Entwickelung des Products 



den Coefficienten von x"''''' bildet, so lässt sich das Theorem, um das 

 es sich handelt, folgendermaassen aussprechen: 



^ Ich habe bereits vor Jahren (vergl. die Monatsberichte v. J. 1859, S. 758, und 

 V. J. 1868, S. 428) der Akademie einen Beweis dieses Satzes vorgelegt, der auf dem- 

 selben Grundgedanken, wie der gegenwärtig mitgetheilte, beruhte, für mich aber aus 

 dem Grunde, dass er nicht ganz frei von Stetigkeitsbetrachtungen war, etwas Un- 

 befriedigendes hatte und deshalb nicht verölientlicht worden ist. 



Sitzungsberichte 1891. 98 



