Weiekstrass: Neuer Beweis des Fuudauientalsatzes der Algebra. 1087 



in den \h^, . . . h,,, (7, , . . . C„j dadurch übergellt, werde mit 



\hy, . . . hn, Ci, . . . (7„] 



bezeichnet. Nimmt man sodann ?i positive Grössen C^, . . . C^ so an, 

 dass die Bedingungen 



6. I C, I < C,, . . . I C„ I < C„ 



erfüllt werden, imd ersetzt in dem vorstehenden Ausdrucke die 

 Grössen C, , . . . C„ beziehlich durch C, , ... C„, jede der Grössen 

 h^, . . . Ä,j aber durch ein und dieselbe positive Grösse h, so ist 



I j //.,,.. . Ä„ , Ci , . . . C„ j I stets kleiner als [h , . . . h , C^ , . . . C„] , 



wenn die absoluten Beträge von A, , . . . A,j sämmtlich kleiner als h sind. 

 Es ist aber [Ä, . . . A, C, , . . . (7„], wofür jetzt kürzer [h] geschrieben 

 werde, eine ganze Function von h mit lauter positiven Coefficienten 

 und ohne ein von h unabhängiges Glied; man kann also eine positive 

 Grösse h^ so bestimmen, dass für jeden Werth von h, der die Grenze h^ 

 nicht übersteigt, [h] kleiner ist als eine willkürlich angenommene 

 Grösse. 



Nun sei D* irgend eine positive Grösse, die kleiner ist als der 

 absolute Betrag der Discriminante A(C, , . . . (7„), und A^ eine andere, 

 die < D*; dann kann man h^ so annehmen, dass 



ist. Hieraus und aus Gleichung (5.) folgt nun 

 \A{A,,...A,,)\>D*--[h,], 



wenn die absoluten Beträge der Differenzen (7, — A, , . . . C„ — A^ sämmt- 

 lich kleiner als h^ sind. Da nun D* — [h^] = A^ + {D* — A^ — [ÄJ) und 

 B* — Aq — [Aq] nicht negativ ist, so ergibt sich 



8. |A(A,,...A)|>Ao 

 für jedes den Bedingungen 



9. I c; - A, I < Ao, . . . I C„ -A, I < A„ 



entsprechende Werthsystem (tI, , . . . A„). 



Angenommen nun, man habe, nachdem ein der Bedingung (7.) 

 genügendes Grössenjoaar A^ , Aq fixirt worden , ein System von n be- 

 stimmten Zahlgrössen a, , . . . «„ ermittelt, für welches, wenn 



10. A^= (a, , . . . öj, (w = i,...n) 

 gesetzt wird, die Bedingungen (9.) erfüllt werden. Dann ist 



|il, |<| C, I + Ao, (.==.,...«) 



98* 



