1096 (if^sainmtsit/iinü,- vom 17. Dec. — INIitthcilnnii- vom 21. Febi'. 1889. 



G{t, s), H(t. s), als Functionen von t betrachtet, nicht für jeden 

 Werth von .s' einen gemeinsamen Theiler besitzen. 



Existirt nämlich für einen bestimmten Werth von s ein gemein- 

 samer Theiler von G{i, s), H{i,s), so ist er auch ein gemeinsamer 

 Theiler der Functionen 



R,{t) und (?(/, s) + iH{t, s) = 2,(®,(0 + iS^Jt))s"'-\ 



wo man ©^ (t) = et , ^^ (/) := /3 /u nehmen hat. Nun kann aber 

 (i'(/..s) + lH{t.s) nicht für jeden Werth von s mit der von s un- 

 abhängigen Function R-^it) einen Theiler gemein haben: denn dazu 

 wäre nach einem bekannten Satze zunächst erfoi-derUch. dass ein ge- 

 meinsamer Theiler sämmtlicher Functionen (^^{t) -\- i^„U) cxistirte, 

 was nicht der Fall ist, w^ie schon daraus erhellt, dass ®o(0 + ^5o(0 

 eine von Null verschiedene Constante ist. 



Zieht man nun noch in Betracht, dass in dem Ausdrucke 



G{t,s) + iH{t,s), 



der von ,9 unabhängige Coefficient von /'". nämlich cd,,, + /S„, /. einen 

 von Null verschiedenen Werth hat, in G{Ls), H{t,s) also die Coeffi- 

 cienten von f" niemals beide gleich Null sind, so ist diu'ch das Vor- 

 stehende bewiesen, dass unter den gemachten Voraussetzungen B.{s) 

 in der That niemals identisch verschwindet. Man braucht also, um 



eine Function D 1 —; 1 von der verlangten Beschaifenheit zu er- 



\t-\-kiJ "^ 



halten, die Constante k nur so zu wählen, dass R(k) nicht gleich 



Null ist. 



Nach Fixirung eines Werthes von k lässt sich mm auch auf 



mannigfaltige Weise eine positive Grösse bestimmen, welche kleiner 



ist als jeder Werth, den der absolute Betrag von Dl — | an- 



\t -{- kij 



nehmen kann. Für das Folgende genügt es aber, eine Grösse zu er- 

 mitteln, die für jeden dem Intervall (i . . . + oo) angehörigen Werth 

 von t der angegebenen Bedingung genügt. 



Man bilde, was immer möglich ist, zwei ganze Functionen von t , s 



G,{t,k), H,{t,k), 

 welche der Gleichung 



II. GJi,k) G{i,k) + H,{i, k) H{t, k) = f-"'-'R{k) 



genügen und in Beziehung auf t von nicht höherem als dem {m ~ i ) ten 

 Grade sind. Setzt man dann 



i 2. 



/ = -, G{t, k) = r-"'(p(T,k). H{i, k) = r-"'-l{r.k), 



T 



GAt,k) = r-"' + ^cp,{T,k), H,{t,k) = T-"'+'^|/,(A^•), 



