Weierstrass: Neuer Beweis des Fundamentalsatzes dei' Algebra. 



SO bedeutet r eine reelle Veränderliche, die jeden dem Intervall (o 

 angeliörigen Werth annehmen kann, und 



cp{r,k), -^{r^k), (/),(t,A-), •J/,(T,/f) 

 sind ganze Functionen von r, welche der (xleichung 



13. (/):(t,A-) <p{r,k) + ■^,{T,k)4^{T,k) = R{k) 



genügen. Dann hat man 



\i-\- ki)r\ <p{r, k) + ^^^(T, k) 



um 



. . . I) 



14. 



D 



i-\-kTi J (i + ^n'f 



und es folgt, da 



(c/,;(r, k) + ^|/?(T, k)) (cp-'ir, k) + i^'ir, k)) > ((/),(r, k) cf>{r, k) + ^^,(T, k) -^{r, k))' 

 ist, 



16. 



D 



{i + ki)T 

 I + ^re 



> 



m{k) 



{i + ¥rr'{<p\{r,k) +4^\{r,k)) 



Bestimmt man also, was ohne Schwierigkeit geschehen kaiin, 

 eine positive Grösse K so, dass für jeden der l)etrachteten Werthe A^on t 



17- K>cl>]{r,k)-^-4y]{r,k), 



so ergibt sich 



D 



{i-hki)r 

 I + kri 



R\k) 



[i + kTK 



Hiernach ist also /(^'; j — —] , wofür fortan kürzer f[x\r) 



I + kri 



geschrieben werden soll, eine Function von x, deren Discriminante 

 für jeden dem Intervalle (0...1) angeliörigen Werth von r 

 ihrem absoluten Betrag nach grösser ist als eine angebbare 

 positive G-rösse. 



Eine solche Grösse — sie möge mit D* bezeichnet werden — 

 lässt sich mit Sicherheit bestimmen, wenn sämmtliche Coefficienten 

 der Functionen /o(a;),/,(^), wie von jetzt an angenommen werden soll, 

 (reelle oder complexe) rationale Grössen sind. 



Ferner kann man dann, wenn 

 19. /(a^; t) = a;" + 2,C|:*a:''~'' (.= i,...n) 



gesetzt wird, wo 



20. 



C!:' 



I + kri 



mit Leichtigkeit n positive rationale Grössen Ci , . . . C^ ermitteln, welche 

 für jeden der in Betracht kommenden Werthe von r den Bedingungen 



21. Ui > L/, , . . . t/„ > L/,i 



