Weierstkass: Neuer Beweis des Fuiulamentalsatees der Algel)ra. lOyj 



Ferner sei, wie im Vorhergelieiiden , 



2 . / (x) = X" 4- 2, CJ') x"-", (.= .,... .) 



unter der Annahme, dass jeder der Coefficienten CJ" eine rationale 

 Grösse sei und die Discriminante der Function einen von Null ver- 

 schiedenen Werth habe. 



Gibt man sodann, mit g eine ganze positive Zahl bezeichnend, 

 der Grösse r die Werthe 



12 g — I 



o,— ,— , . . . — , I, 



9 9 9 



so ist leicht zu zeigen, dass man, vorausgesetzt, es sei g hinlänglich 

 gross angenommen, g Systeme von je n rationalen Grössen 



(«I.. , • • • «..«)' K. , • • • «2.J, • • • K.i , • • • %n) 



berechnen kann, für welche, wenn man die Bezeichnung des vor- 

 hergehenden Paragraphen beibehält, die absoluten Beträge der 

 Differenzen 



3- c<^*-K „...«..). C=;;::::) 



sämmtlich kleiner als d^ sind. 



Man hat nämlich nach Formel (20.) des vorhergehenden Paragraphen 



nimmt man also g so gross an, dass 



4- I ( I + kl) (CJ" - Ci°') I < K (. = .,... n) 



ist, so hat man 



5. \c^^^-Cf^A<d^ A = o,...,-A 



Daraus lässt sich nun das Behauptete leicht folgern. 

 Da 



6. f{x; o) = /, [x] = UM- «i°') , C'<«> = («1°', • . • a':\ , (" - 1 , • • • ») 

 so werden zunächst die Bedingungen 



7- 

 erfüllt, wenn man 





C?„ {v=zi,...n) 



"• "1,1 "1 5 • • • "i.n "re 



setzt. Angenommen nun, es sei für irgend einen bestimmten, zwischen 

 o und g liegenden Werth von A , ein den Bedingungen 



9- C<»*-K„...a,.).<rf, (. = .,..-) 



