F. Kotier: Darstell. d. neun Richtungscos. durch ©-Functionen zweier Arg. 81 1 



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,«?, + Tr— ;«), = U \yA-y\ tu, + ^^ «', 7,, -r: W, + -7=: 



in welchen er, er', er" irgend eine cyklisclie Permutation der Zahlen 

 1,2,3 bedeutet , und £ der durch die Gleichung 



X.|?.,?..+>..|>.,.?.3 + >.3|?,3?., 

 '' == '- '= '3 .|X,,x| + |?.w.l + |>.3f>^| 



definirte Werth ±1 ist, während ?ü, , «'^ , tt',' , 'w[ beliebige Werthepaare 

 bezeichnen. In Folge dieser Differentialgleichungen kann man nun 

 die allgemeine Form von sechs Grössen a.. , ß. liestimmen , welche mit 

 7. zusammen den Bedingungen für die Richtungscosinus zweier ortho- 

 gonaler, congruenter Coordinatensysteme genügen. .Sind nämlicli a^ , b^ 

 sechs Grössen, welche in Gemeinschaft mit c^ diese Bedingungen er- 

 füllen, so kann jedes System von Grössen at,^,ß. in folgender Form 

 dargestellt werden: 





lA.ul , ,a|?.,.- ±(«3 j = i 



(<^= 1.2,3)- 



In dieser Gleichung hat man gleichzeitig das obere oder das untere 

 Zeichen zu nehmen; die Grösse e' ist in derselben Weise aus den 

 (irössen e', . s'^ , e'^ zu bestimmen Avie e aus s^e^s^, nämlich durch die 

 (deichung 



/ ,y.,\x,y.2+y.2\y.2>'.3+f<3\^3''' 



e '/■ =£.'£: £3' 1.. ..I.!.. ..1^1.. „I • 



I Ay.u 

 f, = £,/' • 



Die einzehu'U Werthsysteme a...lo., welche zu denselben drei Grössen 

 7. '73)73) gehören, unterscheiden sich nur durch den Werth von Uy 

 Einer Variation der Grösse u^ entspricht eine Drehung um die durch 

 7i ) 72 ) 73 bestimmte Richt\nig. 



Eine merkwürdige Eigenschaft der angegel)enen Formeln ist die 

 vollständige Reciprocität der Beziehung zwischen den Grössen «,, ft, , f, 

 einerseits und den Grössen a^ , ß. , 7. andererseits. Es ist 



^(u:.u:)^{u,,iL)+S^eA—ir "i ''■'"'7.&(".') ".')uX,-(".) "=U.- 



