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Über die Abhängigkeit der Lösungen einer linearen 



Differentialgleichung von den in den Coefiicientea 



auftretenden Parametern. 



Von L. Fuchs. 



J-Jic folgende Notiz bezieht sich auf die Frage der Abhängigkeit der 

 Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung von einem 

 in den Coefficienten derselben auftretenden Parameter, welche ich 

 bereits in einer Reihe früherer Aufsätze in den Sitzungsberichten 

 in's Auge gefasst habe. Wenn die Coefficienten der zur Differential- 

 gleichung gehörigen Substitutionsgruppe vom Parameter imabhängig 

 sind, so genügen die Integrale der Differentialgleichung, aufgefasst 

 als Functionen des Parameters, ebenfalls einer linearen homogenen 

 Differentialgleichung höchstens derselben Ordnxmg, wie die vorgelegte'. 

 Es bietet sich naturgemäss die Aufgabe dar, festzustellen, was um- 

 gekehrt für eine vorgelegte Differentialgleichung, deren Coefficienten 

 rationale Functionen der unabhängigen Variablen und des Parameters 

 sind, gefolgert werden kann, wenn es feststeht, dass ein Fundamental- 

 system von Integralen derselben, aufgefasst als Functionen des Para- 

 meters, ebenfalls einer linearen homogenen Differentialgleichung Genüge 

 leistet, deren Coefficienten rationale Functionen des Parameters und 

 der unabhängigen Variablen der voi-gelegten Differentialgleichung sind. 

 So genügt das hypereUiptische oder elliptische Integral z als Func- 

 tion der Variablen^ einer linearen homogenen Differentialgleichung zwei- 

 ter Ordnung , deren Coefficienten rationale Functionen der Variablen x 

 und eines der Verzweigungswerthe u. Dasselbe Integral z, aufgefasst 

 als Function des Verzweigungswerthes ti, genügt einer linearen homo- 

 genen Differentialgleichung der Form 



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' S. Sitziingsber. vom 25. Felmiar 1892. S. 165. 



