906 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 25. Juli. 



WO q^ , q^ rationale Functionen von x und u, ß^, ß,, . . . /3„_, rationale 

 Functionen von u allein sind, und n den Grad des Radicanden der 

 zu Grunde liegenden Quadratwurzel bedeutet. — Die Folge aus diesem 

 Umstände ist aber , dass die Periodicitätsmodulen *) des liypereUiptisclien 

 oder elliptischen Integrals der Differentialgleichung 



Q{>i) = o 



Genüge leisten. Diese Periodicitätsmodulen sind aber eben 

 nichts anderes als Coefficienten der zur genannten Diffe- 

 rentialgleichung zweiter Ordnung zugehörigen Substitu- 

 tionsgruppe.' 



Wir beschränken uns an dieser Stelle, der Kürze halber die Aus- 

 führung der oben bezeichneten Aufgabe an dem Falle vorzunehmen, 

 dass die vorgelegte Differentialgleichung der zweiten Ordnung ist, und 

 dass von der Voraussetzung ausgegangen wird, dass die Differential- 

 gleichung, welcher die Integrale derselben als Functionen des Para- 

 meters aufgefasst genügen, dritter Ordnung wird. 



1. 



Es sei vorgelegt die Differentialgleichung 



d^z dz , 



(I) ^^ + g^^ + hz = o, 



deren Coefficienten rational von x und y abhangen, und es werde 

 vorausgesetzt, dass ein Fundamentalsystem von Integralen derselben, 

 als Functionen von y, einer Differentialgleichung 



d^z d^'z dz 



deren Coefficienten ebenfalls rationale Functionen von x und y sind, 

 genüge. 

 Sei 



_ G{x,y) 



^3^ ^ ~ H{x,yy 



wo G(x,y) und H{x,y) ganze rationale Functionen ohne gemein- 

 schaftlichen Theiler sind, und zwar 



(4) H{x,y) = H,{x,yf' H^{x,yf' . . . H,{x,yf\ 



wo ö-j , cTj , . . . cTj positive ganze Zahlen, H^.{x,y) irreductible ganze 

 rationale Functionen und H^.{x,y) von Hi(x,y) verschieden, wenn k 



' S. meine Arbeit Grelles Journal B. 71, S. gift". 



