und / verschieden sind 

 Form bringen: 



J^ F,{x,y) u 



Fucns: Über lineare Differentialgleichungen. 907 



Alsdann kann man bekanntlich g in die 



3x 



V{x,y)HM,y) H^{x,y).. . H,(x,y) 



H{x,y) 



wo Fi.{x,y) und V{x,y) ganze rationale Functionen von x, deren 

 Coefficienten rational von y abhängen.' 



Bezeichnen wir die Wurzeln der Gleichung 



(6) H,{x,y) = o 



in Bezug auf x als Unliekannte mit «j., , %2 ? • • ■ ; so ist 



Ft. (x , y) cc^, Äi., 



7 H- , = -^ + — ^^+... 



.Hi,{x,y) x — üi,, x — a^. 



Wir machen nunmehr die vereinfachende Voraussetzung, dass 06^.,, 

 Äj.^, . . . von y unabhängig sind. Diese Voraussetzung ist beispiels- 

 weise erfüllt, wenn die Integrale der Gleichiuig (i) sich überall be- 

 stimmt verhalten und die Wurzeln der determinirenden Fundamental- 

 gleichung von y unabhängig sind. Wenn %, , a^^, ... von y abhangen, 

 so ist, mit Rücksicht darauf, dass nach dem PuisEux'schen Satze 

 durch Umläufe von y jedes a^^ in jede andere Wiu'zel der Gleichung (6) 

 üliergeführt werden kann, und andererseits darauf, dass solche Um- 

 läufe die rechte Seite der Gleichung (7) nicht ändern, 



(8) Ä^., = «^., = . . . = Ä^. 



Es ist daher 



(9) 





dy 



dy 



und demnach 



(x — a„,Y {^ — "k.Y 



^ 8' V V{x,y)HAx,y)HA^,y) 

 dxdy\^ 



HAx,y)'] 



H{x,y) 



(10) ^ 



\Jsä^ = -X' 



da^ 

 dy 



da^ 

 dy 



^ 8 [ V{x,y)HAx,y)HAx,y) 

 dy [ H{x,y) 



HA'^,y)] 



eine rationale Fimction von x und y. Zu den Summen liefern nur 

 diejenigen Factoren H^(x,y) einen Beitrag, für weiche «*, , a^.^, ... 

 von y abhängen. 



Vcrgl. Ibioini:, C'ours d'analyse, proiiiiire partic, annee 1873 [>■ 268. 



