Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 911 



Es können nun zwei Fälle eintreten: 



I. Es giebt unter den Zweigen der Functionen z^ und z^, welche 

 durch die verschiedenen Umläufe der Variablen x erzeugt werden, 

 wenigstens zwei solche, für welche 



(2) H ^ ä'Ä' — /S'y' 



von Null verschieden ist, oder 



II. Es ist für alle Zweige e = o. 



Im Falle I folgt aus den Gleichungen (F) 



(3) 



(4) 



Setzen wir 



(5) 



so folgt aus den Gleichungen (3), dass D{z,) und Z)(s,) Integrale 

 der Gleichung (A) sind. 

 Im Falle H folgt aus (F) 



U.R. + s^R^ = o 



ie^R, + £^R, = , 



d. h. , da c, , ~j ein Fundamentalsystem von Integralen der Gleichung 

 (A) sind, 



(7) £, = o , E, = o , £3 = o , £, = o. 



Aus denselben folgt 



\y' ^ cct' ; S' ^= c^ß' ; 



(8) 



wo und r, von x und 1/ unabhängige Grössen bedeuten. Die bei- 

 den letzten Gleichungen erfordern, dass entweder cc' = o, oder /3' = o 

 oder ot*'* = o und /3*''* = o, oder endlich c, =: c. Für a' = o müsste 

 nach der ersten Gleichung auch 7' = o sein , und demgemäss nach 

 den Gleichungen (F) die Function D(z^) der Gleichung (A) Genüge leisten. 

 Für ,6' = o folgt aus der zweiten Gleichung (8), dass auch ^' = o, 

 und dann aus den Gleichungen (F), dass die Function Z)(^i) die Gleichung 

 (A) befriedigt. Für die Combination ä''' = o, /3*'' = o folgt aus den bei- 

 den ersten Gleichungen (8), dass auch 7''' := o, ^•"^ :^ o, dass also 

 ä' , /S' , 7' , S' von y vmabhängige Werthe a , b , c , d annehmen. Es 



