Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 



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Es muss aber aucli D{u) ein Integral der Gleichung (A) sein, folglich 

 ist auch 



(14) 



jxD{u,) = D(u) — 2 — - u — 2 -— «, 

 au du 



ein Integral derselben Gleichung. Wenn demnach nicht für alle Um- 

 läufe der Variablen x die Grösse |U verschwindet, so ist auch D{u^) 

 ein Integral der Gleichung (A). Dieses führt zu dem folgenden Satze: 

 II. Wenn B^ von Null verschieden ist, und die Gleichun- 

 gen (A) und (B) nicht ein gemeinschaftliches Integral be- 

 sitzen, dessen logarithmische Ableitung nach x eine ratio- 

 nale Function von x ist, so giebt es stets ein Fundamental- 

 system von Integralen 2,, z^ der Gleichung (A), welches eben- 

 falls die Gleichung (B) befriedigt und so beschaffen ist, dass 

 D(z^) , D(z^) der Gleichung (A) Genüge leisten. 



Setzen wir zur Abkürzung 



= b 



(I) 



so ist 



(2) 



dz dz 



Diz) = 2 ^ — ta^ — \-bz 

 oy ex 



ox 



P(i)(^))=2(2,l) + 0(3,0) + 



3°a db 



(2,0) 



ox 

 dx' 



hh 



■ha 



(o , o). 



(i ,o) + Ä(o, l) 



Ist z ein Integral der Gleichung (A), so folgt aus dieser Gleichung, 

 und aus Gleichung (3) Nr. 2 



, N n/r./ x\ r^'^ dbldz \d'b ,8a dh dh 



(3) P{^(^^) = [^+^Tx\Tx^[d^^-''d^-"d^-'ry 



1 Fundamentalsystem von Inte 

 e II voriger Nr. angegebenen I 



P(D(z,)) = o ; P(D(c,)) = o 



Bilden r, , c, ein Fundamentalsystem von Integi-alen der Gleichung 

 (A) von der im Satze II voriger Nr. angegebenen Beschaffenheit, so ist 



(4) 



