Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 915 



In dem Falle, dass die Gruppe von Substitutionen dei" Gleichung 



(A) von y unabliängig ist, genügt z als Function von y einer Difle- 

 rentialgleichung höchstens zweiter Ordnung, deren Coefficienten ra- 

 tionale Functionen von x und y sind ; ^ es müsste demnach die Gleichung 



(B) in diesem Falle reductihel sein. 



Es bleibt uns also noch übrig, den Fall zu untersuchen, in welchem 

 die Gleichung (A) ein Integral besitzt, dessen logarithmische Ableitung 

 nach X eine rationale Function von x ist. 



5. 



Es sei jetzt 



(1) z, = eJ 



ein Integral der Gleichung (A), wo 9t eine rationale Function von x. 

 "Wir wollen nunmehr voraussetzen , dass 5R die Gestalt habe 



(2) 9lt = 1 : I-...H ^^^, 



X — fl, X — öj X — fl,„ 



wo die Grössen «, , «^ , . . . a„ von einander verschieden , und 



a, , c4j , . . . , fl6„ 

 von .r imabhängig seien. Substituiren wir 2, in Gleichung (A), so folgt 



(3) _A = 5R= + .g^. 



Die eben gemachte Voraussetzung schliesst also die in sich, dass die 

 Integi-ale der Gleichung (A) sich überall bestimmt verhalten." 

 Wenn nach einem Umlauf der Variablen y SR sich in 



(4) ^=-Z^ + 



X — f/j X — ff„ 



verwandelt, so müssen die Grössen a[, a'^ ... a'„ wiederum von ein- 

 ander verschieden sein und es ist 



(la) ^2 = ^y 



ebenfalls ein Integral der Gleichung (A). Zwischen 5R und SR' besteht 

 nach Gleichung (3) die Relation 



cm ,,,,= 8$R' 



Aus derselben ergiebt sich 



(6) ^[so{_9{'] = -[9i + 5R']. 



öx 



' S. Sitzungsber. vom 25. Februar 1892, S. 165 — 166. 

 2 S. Grelles Journal B. 66 S. 146 Gl. 12. 



Sitzungsberichte 1895. 



