FiCHs: Über lineare Diflerentialgleichungen. 917 



werden. Aber die zu den singulären Stellen der Gleichung (A) zu- 

 gehörigen determinirenden Fundamentalgleichungen haben die Gestalt 



(14) v{v—i) + s = 0, 



d. h. für das einem solchen singulären Punkte der Gleichung (A) 

 zugehörige Fundamentalsystem ist die Summe der Exponenten gleich 

 Eins, diese Exponenten können also nicht beide negativ sein. Also 

 ist •^'(j:) eine von x unabhängige Grösse, und man hat 



(15) <f> = G{x) 



eine ganze rationale Function von x. 



Die Differentialgleichung di-ifter Ordnung (8) in Nr. 4, welche 

 z\, z^z^, z\ als Fundamentalsystem besitzt, hat demnach eine ganze 

 rationale Function G{x) zum Integral. Besässe dieselbe noch ein 

 zweites Integral G,(x), wo G^(x) eine nicht um einen blossen con- 

 stanten Factor von G(x) verschiedene ganze rationale Function be- 

 deutet , so müssten sich die von x miabhängigen Grössen A , B , C 

 so bestimmen lassen, dass 



(16) Az^,-]-Czl + BG=G, 



, , /-^ „ _e /* G, —BG 

 oder Ae J <^+ Be ^ e = 



tr 



^^^...»v,^ ^v^K^v^ . '^ eine zweiwerthige algebraische Function 

 von X sein. Nach den Gleichungen (7), (9), (10) enthält G nur ein- 

 fache Factoren. Es müsste also diese zweiwerthige Function die 

 Quadrat'mirzel einer rationalen Function von x sein. Sehen wir von 

 diesem Falle, in welchem die Gleichung (A) durch Wurzeln rationaler 

 Functionen integrirt werden würde, ab, so hätte die Gleichung (8) 

 in Nr. 4 nur eine ganze rationale Function zum Integral. Die Co- 

 efficienten desselben sind bis auf einen allen gemeinsamen Factor aus 

 der Gleichung (8) in Nr. 4 als rationale Functionen von y be- 

 stinmiT)ar. Bezeichnen wir dieses Integral mit T-H{x), so dass die 

 Coefficienten von H{x) rationale Functionen von y sind und F A^on 

 X unabhängig, so können wir setzen 



(17) (/.(x) = r.i7(.r). 



Substituiren wir c, aus Gleichung (i 2) in die Gleichung (A), so er- 

 lialten wir 



3(^' 



(18) \ /h ~^ + : = —/'• 



4 \ (^ / 2<p dx 4(/)" 



"Wird der Werth von <\)(x^ aus (18) substituirt, so folgt 



