Fuchs: Über lineare Differentialgleichungen. 919 



WO P, , P,, . . . P^ ganze rationale Functionen von x sind, deren 

 Coefficienten rational von y abhängen. 

 Bekanntlich ist 



. = sß 



ein Integral der Gleichung (A) , welches mit z, ein Fundamentalsystem 

 bildet. 



Substituiren wir in (A) 



(4) z = Sv, so erhalten wir eine Differentialgleichung 



(5) T^ + ^'^ = o 

 ax ex 



und es ist g, eine rationale Function von x und y. Diese Differen- 

 tialgleichung besitzt das Fundamentalsystem von Integralen 



(6) 



fdx 



Wenn », als Function von y einer linearen Differentialgleichung 



(7) P(z) = ~+p^^^ + ...+p^z = o, 



deren Coefficienten rationale Functionen von x und y, genügt, so be- 

 friedigt dieselbe auch jeder Zweig von i\, welcher durch die Um- 

 läufe von X und von y erhalten wird. 

 Diese Zweige haben die Form 



(8) ^, =-^r.H-^, 



ct. 



wo a, eine der Grössen u, , a., , . . . , x^ in Gleichung (2) bedeutet, wäh- 

 rend ,3 nur von y abhängig ist. 



Die Gleichung (7) muss in Bezug auf y reductibel sein. Denn 

 wäre sie irreductibel und substituirten wir r, in dieselbe, so erhielten 

 wir eine lineare homogene Differentialgleichung für ß von gleicher 

 Ordnung: 



(9) T^ +P, ,„_. +.•■ +Pmß = O- 



dy"" dif 



Da die Coefficienten p, , p, , . . . , p„, sich durch ein Fundamentalsystem 

 von Integralen ,3, , ,0, , ..., ß^ derselben, welche als Zweige eines In- 

 tegrals ß von X unabhängig sind, und durch ihre Ableitungen nach 

 y rational darstellen lassen, so müssten p,,p2, . . . , p^ von x unab- 

 hängig sein. 



