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Über die Ordnungen der Verzweigungspunkte 

 einer RiEMANN'schen Fläche. 



Von K. Hensel 



iii Berlin. 



(Vorgelegt von Hru. Frobenius.) 



In einer soeben veröffentlichten Arbeit' habe ich zum ersten Male auf 

 die Elementartheiler von solchen Systemen (F^'^) hingewiesen, in denen 

 die Elemente (F,''^ F^'''.-.F^''') einer jeden Verticalreihe conjugirte alge- 

 braische Grössen desselben Gattungsbereiches oder Körpers sind, und 

 ich habe dort schon auf die Bedeutung jener Theiler für die grund- 

 legenden Probleme der Theorie der algebraischen Functionen aufmerk- 

 sam gemacht. 



In der vorliegenden Abhandlung will ich nunmehr zeigen, wie 

 mit Hülfe jener rational bestimmbaren Elementartheiler immittelbar 

 die Verzweigung der zu einer gegebenen Gleichung f(ij, o-) = ge- 

 hörigen RiEMANN'schen Fläche 9t gefunden werden kann. Bekanntlich 

 ist diese eine von denjenigen Aufgaben, welche man z. B. in der 

 Tlieorie der algebraischen Curven und der AßEL'schen Functionen als 

 gelöst anzusehen pflegt, ohne doch jene Lösung in anderen als ganz 

 trivialen Fällen wirklich angeben zu können. 



Ich stelle zunächst die in der vorigen Arbeit gefundenen Resul- 

 tate, soweit sie hier in Betracht kommen, kurz zusammen. Es sei: 

 ( I ) f{y ,x)=y" + n, {x)ir' + ••■+«„ [x) = 



die irreductible Gleichung, durch welche y als algebraische Fimction 

 von X definirt wird, und y^,yn, ■ •■ y„ die n conjugirten Wurzeln der- 

 selben. Ist dann F =: <^ (j: , y) irgend eine rationale Function von x 

 imd y, also eine beliebige Grösse des durch die Gleichung (i) con- 

 stituirten (tattungsbereiches oder Körpers %{x ,y), so bezeichne ich 

 analog durch Y^ , 1'^ , ■ • ■ I'„ die n conjugirten algebraischen Functionen, 



' Über einen neuen Fundamentalsatz in der Theorie der algebraischen Functionen 

 einer \'nriablen. Crelle's Journal Bd.115. 8.254. 



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