934 Gesainmtsit/.iing vom 17. October. 



welche man erhält , wenn man in dem Ausdrucke für F y der Reihe 

 nach durch y^, y.,, ■■ -y» ersetzt. 



Es seien nun (F'"F'^'. . .F'"') irgend welche n Grössen des Bereiches 

 ® (x , y). Ich hilde aus ihnen imd ihren conjugirten das algeV)raische 

 System von n' Elementen: 



yd» -^(2) _ ^ _ y(")v 

 -jrti) y(2) _ _ y(») 

 y(il y2) y(n) 



dann kann man die Elementartheiler desselben auf rationalem Wege 

 bestimmen, denn jeder von ihnen ist die ganzzahlige Wm-zel aus einer 

 rationalen Function von x allein, welche ihrerseits aus den Coefficien- 

 ten der definirenden Gleichvmg (i) durch das Euclidische Theilerver- 

 fahren bestimmt werden kann. Sind die n Functionen (I"'"- •.F'"') 

 nicht rational unabhängig, so verschwindet die Determinante \Yf\ des 

 zugehörigen Systemes (F^'^); von den Elementartheilern desselben ist 

 also einer oder mehrere gleich Null. Im Folgenden sollen aber nur 

 Systeme mit nicht verschwindender Determinante betrachtet werden. 



Für die Folge genügt es, die algebraischen Systeme und ihre 

 Elementartheiler allein in der Umgebung einer beliebig gegebenen 

 Stelle (x ^= a) zu untersuchen; man braucht dann also nur diejenigen 

 Potenzen : 



(2) [x — d)\{x — a)^. ■■■(x — a)" 



des Linearfactors (x — a) zu bestimmen, welche in jenen n Elementar- 

 theilern enthalten, und deren Exponenten ^,,^2) •••^n rational bestimm- 

 bare positive oder negative rationale Brüche sind. Es sollen daher 

 diese Potenzen (2) als die n Elementartheiler des Systemes (F^'^) 

 für die Stelle a bezeichnet werden. Es soll von vorn herein an- 

 genommen werden, dass jene Elementartheiler (2) nicht, wie dies 

 gewöhnlich geschieht, nach der Grösse ihrer Exponenten, sondern in 

 einer ganz beliebigen Reihenfolge geordnet gegeben sind; in der That 

 ist jene .specielle Anordnung für die vorliegenden Fragen in keiner 

 Weise natiu'gemäss , sondern sie ist eher geeignet, die wesentlichen 

 Eigenschaften jener Elementartheiler zu verhüllen. 



Betrachtet man nun zwei beliebige algebraische Systeme (I i'^) 

 und (Y'f'), so besteht zwischen ihren Elementartheilern in Bezug auf 

 eine beliebige Stelle a eine merkwürdige Beziehung, deren Darlegung 

 eben den Gegenstand der erwähnten Arbeit bildete. Sind nämlich: 



[x — a)^.{x — a)',---(x — a) " 

 jene Elementartheiler von (II'*) in irgend einer Anordnung, so kann 

 man die Theiler von (F^") in einer solchen Reihenfolge: 



