Hensel: Über die Verzweigiingspunkte der RiEMAXNschen Flächen. 93 Ö 



{x — a)',(x — a)',---(x — a)" 



anordnen, dass die entsprechenden Exponenten (J, und ^, stets um 

 eine ganze Zahl von einander vei'sehieden sind, dass sich also die 

 bei dieser Anordnung entsprechenden Elementartlieiler {x-af' und 

 (.(•-«)*' um ganzzahlige Potenzen von x-a unterscheiden. Wir können 

 und wollen daher bei der Vergleichung der Elementartlieiler von zwei 

 oder mehi-eren Systemen diese stets in der Ordnung geschrieben vor- 

 aussetzen, dass diese Beziehung für alle entsjjrechenden Elementartheiler 

 ertÜillt ist, und dann zwei solche Potenzen (x—af' und (x-a)''' ent- 

 sprechende Elementartheiler der Systeme (F^'') imd (F^'^) nennen. 



Geht man also von einem Systeme (F^'^) zu irgend einem an- 

 deren (Yl'*) über, so ändern sich die Exponenten der Elementartlieiler 

 für eine jede Stelle a zwar im Allgemeinen, jedoch immer nur um 

 ganze Zahlen, es bleiben also die kleinsten positiven Reste jener 

 Exponenten ^i . S^, ■ ■■^„ für alle algebraischen Systeme des Bereiches 

 @(.<",y) dieselben, sie sind daher Invarianten derselben, und zwar, 

 wie ich gleich hervorheben möchte, wohl die wichtigsten Invarianten, 

 welche überhaupt in der Theorie der algebraischen Grössen auftreten. 

 Ich will nun zeigen, Avie man mit ihrer Hülfe die Verzweigung der 

 zugehörigen RiEMANN'schen Fläche an der willkürlich gegebenen 

 Stelle a, d. h. also an einer jeden Stelle finden kann. Kennt man 

 nämlich die Verzweigung der Fläche an der Stelle a, so sind, wie 

 jetzt gezeigt werden soll, durch sie jene Invarianten eindeutig bestimmt 

 und umgekehrt; da man also jene Invarianten rational bestimmen kann, 

 so ist dadurch auch die Frage nach der Verzweigung der zugehörigen 

 RiEMANN'schen Fläche gelöst. 



Ehe ich hierzu übergehe, möchte ich noch eine Bemerkung über 

 die zu untersuchende Stelle [x ^ a) hinzufügen. Bei der Betrachtung 

 der zu ® {x . ij) gehörigen RiEM.\xN"schen Fläche muss auch die Stelle 

 (a = oo) untersucht werden. Um auch diese ebenso wie jede im 

 Endlichen liegende Stelle behandeln zu können , setze man in der 



definirenden (üeichung (i) x^—, wodurch ihre Coefficienten 

 a^(x) . n,(.r) , ■ ■ ■ a„{.r) 



in homogene Formen von o:, und x.^ der nullten Dimension über- 

 gf'lien. In den Elementartheilern des Systems {Yf) treten dann an 

 Stelle der Linearfactoren x—a fiir ein endliches a die entsprechen- 

 den homogenen Linearformen ^ = j-, -oj-j mit denselben ge- 

 brochenen Exponenten ^^,^.,, ■■•<^„ auf, während der Stelle a = oo 

 jetzt der homogene Lincarfactor ^ = JV entspricht, welcher hier seine 

 Nullstelle besitzt. Da aber, wie a. a. 0. gezeigt wurde . auch für 



