Hensel: Über die Verzweigungspunkte der RiEMANN'sehen Flächen. 93 < 



ginnt ihre Entwickclung im ersten Blatte mit (x-a)" und man kann 

 es durcli Division mit einer Constanten erreichen, dass der Coefficient 

 jenes ersten Gliedes gleich Eins, dass also 



1 

 (4) Y^=i.v-af+... 



ist, wo die fortgelassenen Glieder hier, wie stets im Folgenden höhere 

 Potenzen von x-a bedeuten. 



Da in dem Windungspunkte Sl die a ersten Blätter der Riemann- 



schen Fläche zusammenliängen, so ist die rechte Seite der Entwicke- 



I 



hing (4) eine nach ganzzahligen Potenzen von (x-a)" fortschreitende 

 Potenzreihe , und man erhält die a ersten conjugirten Functionen 



F,, Fj, •••!'„ dadurch, dass man in (4) für- (x-a)" bez. 

 111 1 



(.v — a)", Oi{x — a)", U)^(x — a)". ■■■ (ü"~^(x — a)f 



2« 



setzt, wo w irgend eine primitive :6'^ Wurzel der Einheit, also etwa e" be- 

 deutet. Es sei die Bezeichnung der a ersten in 31 zusammenhängen- 

 den Blätter so gewählt, dass man für Y^ Fj • • • F„ die folgenden Ent- 

 wickelungen erhält: , 



7^ = (a;-ß)« + --- 

 1 



'. 1 



F = (ü"-^{x-a)"'-i 



während die folgenden F„^.i--F„ sämmtlich mit einem von Null ver- 

 schiedenen Constanten Gliede anfangen. Erhebt man eine der con- 

 jiiijirten Functionen Fi-.F„ zu einer beliebigen ^'™ Potenz, so folgt: 



Y'. = cü'<'-i)(;c-ap+. . . ('=1' 2, ... a), 



also ist speciell für K ^ a, 



Y"={x-a) + --- 



inul hieraus ergiebt sich, dass die Function 



, (0) ^ — ^' 

 ^; ' = = H---. (,-=12...a) 



die Eigenscliaft hat, dass sie sich in der Umgebung des ersten Win- 

 dungspimktes für ^ = a auf 1 reducirt, dass aber ihre Entwickclung 

 in der Umgebung jedes anderen W'indungspunktes mit x—a selbst 

 V»eginnt, weil hier ja ihr Nenner F" weder Null noch luiendlich gross 

 wird. Hieraus folgt weiter, dass die Function 



.4= YA«» 



