Hensei.: Vhev die Verzweigungspunkte der RiEMANN"schen Flächen. 941 



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wenn allgemein unter — der Reihe der eehten Brüche 

 L '^ I 



mit dem Nenner A, also die Reihe (-- , — , ) verstan- 



den wird. 

 Nach dem oben erwähnten Satze unterscheiden sich aber die 

 Exponenten der Elementartheiler eines beliebigen Systemes (I'^'') für 

 die Stelle a von den entsprechenden Theilern dieses speciellen Systemes 

 nur um ganze Zahlen; die Exponenten der Elementartheiler eines 

 jeden Systemes (F^'^) enthalten also genau dieselben Bruchsequenzen 

 wie das vorher betrachtete specielle System; hieraus ergiebt sich also 

 der folgende Fundamentalsatz, mit dessen Hülfe die Verzweigung der 

 7Aif{i/,x) = gehörigen RiEMANN'schen Fläche an jedem ihrer Punkte 

 a- = r/, auch für a=oo unmittelbar erkannt werden kann. 



Ist (I'*'' ••■ I''"') ein beliebiges rational unabhängiges System 



und sind 



üo—a) , [x—a) , ■■■ (jc—a) 



die Elementartheiler des zugehörigen Systemes (F^'^) für die 

 Stelle n, so lassen sich die kleinsten positiven Reste der 

 gebrochenen Exponenten stets in Bruchsequenzen 



[x\ i^' X ' X ' ■■■ X j 



anordnen; ergeben sich hierbei die h (gleichen oder ver- 

 schiedenen) Bruchsequenzen 



[i]' \A ■ [^ 



so liegen in der zugehörigen RiEMANN'schen Fläche an jener 

 Stelle genau /( Verzweigungspunkte über einander, in denen 

 beziehungsweise 



a , ß , ■■■ ■/.. 



Blätter derselben zusammenhängen. 

 Dieser Satz giebt eine wichtige theoretische Einsicht in den Zu- 

 sammenhang, welcher zwischen den Elementartheilern der Systeme 

 und der Verzweigung der zugehörigen RiEMANN'schen Fläche besteht, 

 er liefert aber auch ein Mittel um die zu einer Gleichung f{y, x) ^= 

 gehörige Riemann'scIic Fläche leicht zu finden. Da man nämlich zur 



Bestimmung der Bruchsequenzen ~ '■•• — von einem ganz belie- 

 bigen System ausgehen kann, so kann man dadurch, dass man ein 



