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Verallgemeiiierimg des SYLOw'schen Satzes. 



Vun G. Fkobenius. 



•Jede ciKtlichc Gruppe, deren Onliuiiig dmrli die Primzahl /> theüliar 

 ist. ciitliält Elemente der Ordnung J3. (Cauchy, Memoire sur /es arramje- 

 tiiriits (jiie Von peilt foniier avec des lettres donnees. Exercices d'ana- 

 lyse et de physiqne Matliematique, tome III, §.XII pag. 250.) Die An- 

 zald derselben ist. wie ich hier zeigen werde, stets eine Zahl der 

 Form (y> — 1) {itp-\-\). Aus jenem Satze hat Sylow den allgemeineren 

 hergeleitet, dass eine Grupj)e. deren Ordnung/* durch ^'' theilbar ist, 

 Untergruppen der Ordnung p" besitzen muss. {Theorernes sur les growpes 

 de siilistitiitiüii-s , Math. Ann. Bd. V.) Einen einfachen Beweis dafür habe 

 ich in meiner Arbeit Neuer Beweis des Sylow' sehen Satzes, Crelle's 

 Journal Bd. 100, gegeben. Die Anzalil dieser Untergruj^pen muss, 

 wie ich hier zeigen werde, immer ^ 1 (med. p) sein. Ist p'' die höchste 

 in // enthaltene Potenz von^), so hat Sylow diesen Satz nur für den 

 Fall bewiesen, dass x ^ X ist. Dann sind je zwei in JÖ enthaltene 

 (;ru])pen der Ordnung 7/ conjugirt, und ihre Anzahl np-^l ist ein 

 Divisor von //, während dies fiir x<X im Allgemeinen nicht eintrifft. 

 Die angelTdirten Ergebnisse erhalte ich auf einem neuen Wege aus 

 einem Satze der Gruppentheorie, der bisher noch nicht bemerkt zu 

 sein scheint: 



In einer (Iriipjie der Ordiutny h ist die Anzahl der Eleniente^ deren 

 OrdniiiKj in <j (lußjeht. durch den tjrössfen gemeinsamen Dirisor von g 

 und h th/d/har. 



Ist /) eine Primzahl, so hat eine Gruppe ^ der Ordnung j?' eine 

 Reihe von invarianten Untergruppen (Hauptreihe) ^, , ^,, , . . . ^^.i der 

 Ordnungen i> . p . . . // ' , von denen jede in der folgenden enthalten 

 ist. Dies Resultat leitet Sylow (a.a.O. S. 588) aus dem Satze ab: 



1. Jede (i nippe der Ordnung p^ enthält ein invariantes Element der 

 Ordnung p. 



VAn inrariantes Element einer (iruj)pe s^ ist ein Element von §, 

 das mit jedem Element von .nS vcrtanschbar ist. Enthält %^ das in- 



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