982 Gesammtsitzung vom 31. October. 



variaiito Element P der Ordnung^, so hilden die Potenzen von P eine 

 invariante Untergruppe '•^^ von ^, deren Ordnung y; ist. Ebenso hat 



^Y eine invariante Untergruppe ^ der Ordnung j>, also hat ''p eine 



invariante Untergruppe ''P, der Ordnung/)", welche *P, enthält, u. s. w. 

 Ich habe in meiner Arbeit Vher die Concjruenz nach einem ans zioei end- 

 lichen Grtqypen gebildeten Doppehnodul, Crklle's Journal Bd. loi ($.3, IV) 

 zu jenem Theorem die folgende Bemerkung gefugt: 



II. Jede in einer Gruppe der Ordnung p^ enthaltene Gruppe der 

 Ordming p^'^ ist eine invariante Untergruppe. 



Andere Beweise dafür habe ich in meiner Arl)eit Über endliche 

 Gruppen, Sitzungsbericlite 1895 (§.2, III, IV, V; §. 4,11) entwickelt. 

 Aus dem Satze I kann man dies auf folgende Weise erhalten: Sei .»ö 

 eine Gruppe der Ordnung p' , ® eine Untergruppe der Ordnung /:**', 

 P ein invariantes Element von ^, dessen Ordnung/? ist, und ^ die 



Gruppe der Potenzen von p. Ist © diu'ch ^ theilbar, so ist ^^ eine 



invariante Untergruppe von '' , weil man den Satz II für Gruppen, 



deren (Ordnung kleiner als p'^ ist, schon als bewiesen annehmen kann. 

 IVIithin ist auch @ eine invariante Untergrupjje von ^. Ist (^') nicht 

 durch ^ theilbar, so ist <ö = &>^, oder es kann jedes Element von 

 § auf die Form H = GP' geliracht werden, wo G ein Element von 

 ® ist. Nun ist G mit ® vertauschbar, und P sogar mit jedem Ele- 

 mente von ®. Mithin ist auch H mit ® vertauschbar. 



Das Eingangs erwähnte Theorem lässt sich noch nach einer anderen 

 Richtung hin vervollständigen: 



III. Jede invariante Untergruppe der Ordnung p von einer Gruppe 

 der Ordnung p' besteht aus den Potenzen eines invarianten Elementes. 



Sei § eine Gruppe der Ordnung p^, ^ eine invariante Unter- 

 gruppe der Ordnung p. Ist Q irgend ein Element von § und q = p" 

 seine Ordnung, so bilden die Potenzen von Q eine in S^ enthaltene 

 Gruppe der Ordnung q. Ist *)3 ein Divisor von 0, so ist jedes 

 Element P von ^ eine Potenz von Q. also mit Q vertauschbar. 

 Ist *]3 nicht ein Divisor von Q, so sind ^ und D theilerfremd. ^ ist 

 mit jedem Elemente von § , also auch mit jedem von Q vertaiischbar. 

 Daher ist ^Ü eine Gruppe der Ordnung /)"'*"', und ^ ist eine in- 

 variante Untergruppe derselben. Nach dem Satze II ist aber auch Q 

 eine solche. Mithin ist P mit Q vertauschbar nach dem Satze: 



IV. Ist jede der beiden th^ilerfremden Gruppen 31 und 5? mit jedem 

 Elemente der andern vertauschbar, so ist auch jedes Element von 51 mit 

 jedem Elemente von 5? vertauschbar. 



