Fi!oiii:mi s: X'cr.ill.nenieinening des Svi.ow'schen Satzes. 983 



Demi ist .1 ein Element von 21 und 7? ein Element von 'i^, so 

 ist (las Klcment 



A{BA'B ') = {ABA-')B'' 



sowohl in ?l als auch in 'Ü> enthalten, mid ist daher das Ilaupt- 

 eiemi'iit /•'. 



leii will den Satz 111 noch auf eine zweite Art heweisen: Ist 

 Q PQ = P", so ist Q ''PQ' = P"''. Ist also Q' = E, so ist a'' = 1 

 (niod. /'). Nun ist r/'' ' ^ 1 (mod.;;), also da g und p—\ theilei'(Vemd 

 sind, aucii a=l (mod.p), und mithin PQ = QP. 



Endlich ergiebt sich der Satz drittens aus dem allgemeineren Satze: 



V. Jcile invariante Untergruppe einer Gruppe i3 (^('i' Ordnung /j' 

 e)it1u'ilt ein inrariantes Element von .<ö> dessen Ordnung p »Y. 



INIaii theile die Elemente von JÖ in Classeu conjugirter PZlemente 

 (conjugirt in Bezug auf §). Besteht eine Classe aus nur einem Ele- 

 ment, so ist dies ein invariantes, und umgekehrt bildet jedes in- 

 variante Element von .s3 für sich eine Classe. Sei ® eine invariante 

 Untergrui)pe von i3 ""J P' ü'i'e Ordnung. Enthält dann die (xruppe 

 (i^ ein Element einer Olasse, so enthcält sie alle J]lemente derselben. 

 Man wäide ans jeder der ii in (t enthaltenen Classen ein Element 

 aus. (1^. (1,. . . . (t„. Bilden die mit (i, verta.uschbaren Elemente von 

 .S3 eine (iruppe der Ordnung //", so ist die Anzald der mit fr, conju- 

 girten Elemente von i3> f'^'^o <^ie Anzahl der Elemente der durch (?„ 

 r(>praesentirten Classe, gleich p^'^" (Crelle's Journal Bd. loo S. i8i). 

 Dalier ist 



p" = p'-'-i +/>'■"'■■-+ • • • + p^~^". 



Ist (!^ das Ilauptelement />, so ist A = A,. Daher können die 

 letzten II 1 (dieder auf der rechten Seite dieser Gleichung nicht alle 

 durch p theilbar sein. Es muss daher noch einen Index i/>l geben, 

 für den A,. = A ist. Dann ist (i„ ein invariantes P^lement von ^, dessen 

 Ordnung ]>"'~^\ ist, imd die y;" 't(> Potenz von G,^ ist ein in ® ent- 

 haltenes invariantes Element von i3 'l'''" Ordnung p. 



§■2. 



I. Sind II und h rvlidire Priiiiziildrn. so hinn ein Element der Ordnung 

 II h stets lind nur in einer Weise als Produet von zwei Elementen darge- 

 stellt werden, deren Ordmingen a nnd h sind, und die mit einander t?er- 

 tiiiisr/iliar sind. 



Sind A mid // zwei mit einander vertauschbare Elemente, deren 

 Ordnungen ii und li relative Primzahlen sind, so hat AB =: C die 

 Ordinuig (///. Sei umgekehrt (' irgend ein Element der Ordnung al>. 

 HestinnnI man dann die ganzen Zahlen .r und// so. dass ax -{- hg =^ \. 



