984 Gesaiuiiit.sit/.UM};' vom 31. Octolier. 



wird, und setzt man ax ^ B, hi/ =^ a, so ist C = C"C", und C" hat, 

 da 1/ zu a tlieilerfremd ist, die Ordnung a, und C'" die Ordnung b. 

 (Cauchy, a. a. 0. §.V, pag. 179.) Sei nun auch C ^= AB, wo A und 

 5 die Ordnungen a und 6 haben und mit einander vertauschhar sind. 

 Dann ist C" = A-ß" , B" = B'"-' = E , A" = A'-^^ = A, also A = C" 

 und B = C^. Als Potenzen von C gehören A und B jeder Gruppe 

 an , der C angehört. 



IL Ist die Ordnung einer Gruppe durch n theilhar , m ist die An- 

 zahl derjenigen Elemente der (iruppe, deren Ordnung in n aufgeht^ ein 

 Vielfaches von n. 



Sei i3 PiiiP- Gruppe der Ordnung // und n ein Divisor von h. 

 Für jede Gruppe, deren Ordnung //,' < A ist, und für jeden Divi.sor 71 

 von h' setze ich den Satz als bewiesen voraus. Die Anzahl der Ele- 

 mente von <ö) deren Ordnung in n aufgeht, ist, falls n =-- h ist, 

 gleich n. Ist also n < A , so kann ich annehmen , der Satz sei bereits 

 bewiesen für jeden Divisor von /*, der > n ist. Ist dann p eine in 



- aufgehende Prinizald. so ist die Anzahl der Elemente von //, deren 

 n " 



Ordnung in np aufgeht, durch np theilbar, also aucli durcli n. Sei 



np = p^r, wo r nicht durch p theilliar ist und A^i ist. Sei ,U der 



Complex derjenigen Elemente von S^, deren Ordnung in np, aber nicht 



in n aufgeht, also durch |j^ theilbar ist, und sei k die Ordnimg dieses 



Complexes. Dann ist nur noch zu zeigen, dass die Znlil k, falls sie 



von Null verschieden ist, durch n theilliar ist. Zu dem Z^\•eck 1)e- 



weise ich , dass k durch p' ' und durch r theilbar ist. 



Ich theile die Elemente von ^ in Systeme, indem ich zwei Ele- 

 mente zu demselben System rechne, wenn jedes eine Potenz des 

 anderen ist. Alle Elemente eines Systems haben dieselbe Ordnung m. 

 Ihre Anzahl ist </>(/«). Durch jedes seiner Elemente A ist das System 

 vollständig bestimmt, es wird gebildet von den Elementen A", wo ju 

 die c/)(//() Zahlen durchläuft, die < //< und relativ prim zu /// sind. 

 Ist A ein Element des (Komplexes iX, so gehören auch alle Elemente 

 des durch A repraesentirten Systems dem Complexe ^ an. Dann ist 

 die Ordnung ni von A durch p'', also (p{ni) durch p^~' theill)ar. Da 

 die Anzahl der Elemente jedes der Systeme, in die Sl zerlegt ist, 

 durch p'~^ theilbar ist, so miiss auch k durch // ' theilbar sein. 



Um zweitens zu zeigen , dass k auch durch r theilbar ist , theile 

 ich wieder die Elemente von ^ in Systeme, aber von anderer Art, 

 doch ebenfalls so, dass die Anzahl der Elemente jedes Systems durch r 

 theilbar ist. Jedes Element von ^ kann, und zwar nur in einer Art, 

 dargestellt werden als Product von einem Elemente P der Ordnung // 

 und einem damit vertaiischbaren Elemente Q, dessen Ordnung in /■ 



